齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 100 mm 的带轮以 720 rpm 通过皮带驱动一个 450 mm 的带轮，打滑率为 4 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 720 rpmd1 = 100 mmd2 = 450 mms = 4 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（32 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 864 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 1440 rpmA = 36B = 40C = 32nout = 864 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 300 rpm 下传递 100 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。
P = 100 kWN = 300 rpmdi/do = 0.75τallow = 50 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −80 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −80 MPaσy = 90 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −10 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 40° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −10 MPaσy = 120 MPaτxy = 40 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 110 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 45 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 95 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 95 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
一个 10 kg 的质量块由刚度为 4 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 120 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 10 kgk = 4 kN/mc = 120 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 15 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 12 kN/mk2 = 30 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 153.6 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
720·100/450 = 160 rpm
有打滑
n2 = 160·0.96 = 153.6 rpm
答案
n2 = 153.6 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 48
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 1440·36/40 = 1296 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 32·1296/864 = 48
答案
ND = 48
3.轴的扭转
答案: φ = 8.314 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·79522) = 0.1451 rad
φ = 0.1451·180/π = 8.314°
答案
φ = 8.314°
4.轴的扭转
答案: do = 77.99 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m
由容许应力求外径
T = 3183 N·m = 3.183 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·3.183 × 10⁶/(π·50·0.6836)) = 77.99 mm
di = 0.75·77.99 = 58.49 mm
答案
do = 77.99 mm
实心轴需要 d = 68.7 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −80.28 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−30, −80 − 90) = −160.6°
单元体上的角度
θp = −80.28°
答案
θp = −80.28°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 83.11 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 55 + −65·0.1736 + 40·0.9848 = 83.11 MPa
答案
σθ = 83.11 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 20.01 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 110·1000/78.54 = 1401 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1401/70000 = 0.02001 = 20008 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.02001·1000 mm = 20.01 mm
答案
δ = 20.01 mm
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 223.8 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 46.77 MPa
σ2 = 223.8 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 223.8 MPa
答案
σmax = 223.8 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 13.25 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13.25 kN
答案
Pcr = 13.25 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 93.26 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 93.26 mm
答案
d = 93.26 mm
校核：长细比 KL/r 为 128.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.3
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·10) = 400 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 120/400 = 0.3
答案
ζ = 0.3
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 7.483 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 12 + 30 = 42 kN/m
keq = 42·15/(42 + 15) = 11.05 kN/m
固有频率
ωn = √(11053/5) = 47.02 rad/s
fn = 47.02/(2π) = 7.483 Hz
答案
fn = 7.483 Hz
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