齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 108 mm。须用一对模数为 2 mm、减速比为 3.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 108 mmm = 2 mmi = 3.5
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（60 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（50 齿）。求输出转速 nout。
nin = 1440 rpmA = 60B = 80C = 24D = 50
nout = rpm
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 50 N·m 的扭矩作用。标距 400 mm 两端的相对转角为 5.91°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 50 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 5.91°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心钢轴在 1000 rpm 下传递 20 kW。切应力不得超过 50 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −50 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −50 MPaσy = 60 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −10 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −10 MPaσy = −20 MPaτxy = 10 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 110 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 200 MPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 140 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 140 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 12 mm 之后 5 个周期出现峰值 2.5 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 12 mmx5 = 2.5 mmn = 5
ζ =
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 40 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 40 kgk1 = 40 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 24
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·108/2 = 108
按传动比分配
N1 = 108/(1 + 3.5) = 24
答案
N1 = 24
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 518.4 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 1440·60/80 = 1080 rpm = nC
第二级
nout = 1080·24/50 = 518.4 rpm
答案
nout = 518.4 rpm
总传动比 = 2.778 : 1
3.轴的扭转
答案: G = 39.01 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 5.91·π/180 = 0.1031 rad
剪切模量
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·400/(4970·0.1031) = 39012 MPa
G = 39.01 GPa
答案
G = 39.01 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 48.59 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
按强度求直径
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26.89 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·190986/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 48.59 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(26.89, 48.59) = 48.59 mm
答案
d = 48.59 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 26.99 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 40/68.01 = 0.5882, sin 2θs = −(−55)/68.01 = 0.8087
2θs = atan2(55, 40) = 53.97°
单元体上的角度
θs = 26.99°
校核: θs − θp = 26.99 − 71.99 = −45°
答案
θs = 26.99°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −5.67 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −15 + 5·0.866 + 10·0.5 = −5.67 MPa
答案
σθ = −5.67 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 10 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 110·1000/78.54 = 1401 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1401/70000 = 0.02001 = 20008 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.02001·500 mm = 10 mm
答案
δ = 10 mm
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 293.9 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.001, 0.0005455) = 0.0005455 (青铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005455·5.388 × 10⁸ = 293882 N = 293.9 kN
答案
Pmax = 293.9 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.422 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/2500² = 4422 N = 4.422 kN
答案
Pcr = 4.422 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 102 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 102 mm
答案
d = 102 mm
校核：长细比 KL/r 为 196，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.04987
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/5)·ln(12/2.5) = 0.3137
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3137/√(39.48 + 0.09842) = 0.04987
答案
ζ = 0.04987
12.机械振动
答案: fn = 2.628 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/40 + 1/15 → keq = 40·15/(40 + 15) = 10.91 kN/m
固有频率
ωn = √(10909/40) = 16.51 rad/s
fn = 16.51/(2π) = 2.628 Hz
答案
fn = 2.628 Hz
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