机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等

一个 3 头的蜗杆以 1450 rpm 转动，驱动一个 60 齿的蜗轮。求蜗轮的转速 n_w。

z = 3N_w = 60n = 1450 rpm

n_w = rpm

2.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 18 个齿，每个行星轮有 20 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1200 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 18N_p = 20n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

3.轴的扭转中等

一根空心铝轴（外径 60 mm，内径 30 mm，长 3 m）一端固定，另一端受 250 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。

T = 250 N·md_o = 60 mmd_i = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 1450 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = −30 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θ_s（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σ_x = −30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

6.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 70 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（σ_z = 0）。求冯·米塞斯等效应力 σ_vM。

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

7.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 50 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 95 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø12 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）

σ_max = MPa

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 55 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 55 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后 5 个周期出现峰值 7.8 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 20 mmx₅ = 7.8 mmn = 5

ζ =

12.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: n_w = 72.5 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1450·3/60 = 72.5 rpm

答案

n_w = 72.5 rpm

2.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 284.2 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·20 = 58

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −58/18

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·18/76 = 284.2 rpm

答案

n_c = 284.2 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

3.轴的扭转

答案: φ = 1.386 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

扭转角

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·3000/(26000·1.193 × 10⁶) = 0.02418 rad

φ = 0.02418·180/π = 1.386°

答案

φ = 1.386°

4.轴的扭转

答案: d = 30.35 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·329286/(π·60)) = 30.35 mm

答案

d = 30.35 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.莫尔圆与应力变换

答案: θ_s = 64.33 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θ_s = −40/64.03 = −0.6247, sin 2θ_s = −(−50)/64.03 = 0.7809

2θ_s = atan2(50, −40) = 128.7°

单元体上的角度

θ_s = 64.33°

校核: θ_s − θ_p = 64.33 − (−70.67) = 135°

答案

θ_s = 64.33°

逆时针方向的角度为正。

6.莫尔圆与应力变换

答案: σ_vM = 124.1 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = 85 MPa, R = 52.2 MPa

σ₁ = 137.2 MPa, σ₂ = 32.8 MPa, σ₃ = 0

冯·米塞斯

σ_vM = √(137.2² − 137.2·32.8 + 32.8²) = 124.1 MPa

答案

σ_vM = 124.1 MPa

7.轴向应力与应变

答案: δ = 0.04945 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·3063 = 4.045 × 10⁸ N

缩短量

δ = 50000·400/4.045 × 10⁸ = 0.04945 mm

答案

δ = 0.04945 mm

8.轴向应力与应变

答案: σ_max = 840 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 193.5 MPa

σ₂ = 840 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 840 MPa

答案

σ_max = 840 MPa

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 81.88 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·1500 = 750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/750² = 81881 N = 81.88 kN

答案

P_cr = 81.88 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 72.25 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 72.25 mm

答案

d = 72.25 mm

校核：长细比 KL/r 为 221.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.机械振动

答案: ζ = 0.02996

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/5)·ln(20/7.8) = 0.1883

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1883/√(39.48 + 0.03547) = 0.02996

答案

ζ = 0.02996

12.机械振动

答案: k_eq = 112 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 12 + 100 = 112 kN/m

答案

k_eq = 112 kN/m

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