齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 160 mm 的带轮以 720 rpm 通过皮带驱动一个 500 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 720 rpmd1 = 160 mmd2 = 500 mms = 1 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带把一个以 1500 rpm 转动、直径 150 mm 的主动轮与一个 450 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.35，紧边张力不得超过 600 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。
d1 = 150 mmn1 = 1500 rpmd2 = 450 mmC = 500 mmμ = 0.35T1 = 600 N
P = kW
3.轴的扭转中等
一根长 2.5 m 的实心黄铜轴承受 400 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 2°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 400 N·mL = 2.5 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 3000 rpm 下传递 20 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 20 kWN = 3000 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 130 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 130 MPaσy = −40 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 100 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 160 MPa）放在一根青铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 110 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 10 mm 之后 3 个周期出现峰值 3.2 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 10 mmx3 = 3.2 mmn = 3
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 30 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 10 kgk1 = 30 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 228.1 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
720·160/500 = 230.4 rpm
有打滑
n2 = 230.4·0.99 = 228.1 rpm
答案
n2 = 228.1 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: P = 4.155 kW
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
包角
θ = 2.532 rad
松边张力
eμθ = e0.8863 = 2.426, T₂ = 600/2.426 = 247.3 N
功率
P = (600 − 247.3)·11.78 = 4.155 kW
答案
P = 4.155 kW
3.轴的扭转
答案: d = 52.3 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·2500/(39000·0.03491) = 734561 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 52.3 mm
答案
d = 52.3 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: τmax = 4.393 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m
极惯性矩
J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 63662·25/362265 = 4.393 MPa
答案
τmax = 4.393 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 104 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((130 − −40)/2)² + 60²) = 104 MPa
答案
τmax = 104 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 30.54 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 65 + 35·0.5 + 60·−0.866 = 30.54 MPa
答案
σθ = 30.54 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 46.91 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4.547 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.5/1.066 × 10⁻⁵ = 46909 N = 46.91 kN
答案
P = 46.91 kN
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 254.4 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·3063 = 3.998 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.0008, 0.0006364) = 0.0006364 (青铜)
最大载荷
Pmax = 0.0006364·3.998 × 10⁸ = 254398 N = 254.4 kN
答案
Pmax = 254.4 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 55.27 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1500² = 55270 N = 55.27 kN
答案
Pcr = 55.27 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 26.99 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6.25 = 160
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa
答案
σcr = 26.99 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.06034
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/3)·ln(10/3.2) = 0.3798
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3798/√(39.48 + 0.1443) = 0.06034
答案
ζ = 0.06034
12.机械振动
答案: keq = 10 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/30 + 1/15 → keq = 30·15/(30 + 15) = 10 kN/m
答案
keq = 10 kN/m
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