齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 15 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 12 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 45 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 98%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 15 kWn1 = 1500 rpmN1 = 12N2 = 45η = 98%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一台 1.1 kW、960 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（24 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（18 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 Tout。
P = 1.1 kWnin = 960 rpmA = 15B = 24C = 18D = 48ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 750 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 50 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 2.5 m、距 B 2 m 的 C 处施加 250 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 50 mmT0 = 250 N·ma = 2.5 mb = 2 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 130 MPa、σᵧ = 20 MPa。在最大主应力达到 165 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 130 MPaσy = 20 MPaσ1 = 165 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 20 mm 的实心轴承受100 N·m 的弯矩，同时承受 250 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 20 mmM = 100 N·mT = 250 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 100 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 250 MPa）放在一根铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 5 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 25 kg 的质量块挂在刚度为 80 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 25 kgk = 80 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 20 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 95.49 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/157.1 = 95.49 N·m
答案
T1 = 95.49 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 43.03 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 960·(15/24)·(18/48) = 225 rpm
ωout = 2π·225/60 = 23.56 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 1100·0.96² = 1014 W
Tout = Pout/ωout = 1014/23.56 = 43.03 N·m
答案
Tout = 43.03 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 11.21 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(80000·38350) = 0.1956 rad
φ = 0.1956·180/π = 11.21°
答案
φ = 11.21°
4.轴的扭转
答案: τmax = 5.659 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·2/4.5 = 111.1 N·m
TB = 250·2.5/4.5 = 138.9 N·m
最大切应力
两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。
τmax = 16·138889/(π·50³) = 5.659 MPa
答案
τmax = 5.659 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 71.24 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (130 + 20)/2 = 75 MPa
R = σ1 − C = 165 − 75 = 90 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 55²) = 71.24 MPa
答案
τxy = 71.24 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 235.1 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·20³) = 127.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 63.66 MPa
R = √(63.66² + 159.2²) = 171.4 MPa
σ1 = C + R = 235.1 MPa
σ2 = C − R = −107.8 MPa
答案
σ1 = 235.1 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 4.775 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 100·1000/314.2 = 318.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 318.3/100000 = 0.003183 = 3183 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.003183·1500 mm = 4.775 mm
答案
δ = 4.775 mm
8.轴向应力与应变
答案: Pmax = 232.9 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·3063 = 4.657 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00125, 0.0005) = 0.0005 (铜)
最大载荷
Pmax = 0.0005·4.657 × 10⁸ = 232871 N = 232.9 kN
答案
Pmax = 232.9 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 8.996 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8.996 kN
答案
Pcr = 8.996 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 32.83 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 32.83 mm
答案
d = 32.83 mm
校核：长细比 KL/r 为 365.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 8.252 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(80000/25) = 56.57 rad/s
fn = 56.57/(2π) = 9.003 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 9.003·√(1 − 0.4²) = 8.252 Hz
答案
fd = 8.252 Hz
12.机械振动
答案: keq = 32 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 12 + 20 = 32 kN/m
答案
keq = 32 kN/m
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