齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 80 mm 的带轮以 2880 rpm 通过皮带驱动一个 300 mm 的带轮，打滑率为 2.5 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 2880 rpmd1 = 80 mmd2 = 300 mms = 2.5 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
一台 4 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（25 齿），A 与齿轮 B（72 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（15 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 Tout。
P = 4 kWnin = 2900 rpmA = 25B = 72C = 15D = 40ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 50 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.2 m、距 B 2 m 的 C 处施加 200 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 50 mmT0 = 200 N·ma = 1.2 mb = 2 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 110 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 110 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 25 mm 的实心轴承受10 kN 的轴向拉力，同时承受 500 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 25 mmF = 10 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 100 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 100 kN杆: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 85 kN第 1 段：Ø35 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 20 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 10 kgk = 20 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 30 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 748.8 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
2880·80/300 = 768 rpm
有打滑
n2 = 768·0.975 = 748.8 rpm
答案
n2 = 748.8 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 95.18 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 2900·(25/72)·(15/40) = 377.6 rpm
ωout = 2π·377.6/60 = 39.54 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 4000·0.97² = 3764 W
Tout = Pout/ωout = 3764/39.54 = 95.18 N·m
答案
Tout = 95.18 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 4.559 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(80000·15708) = 0.07958 rad
φ = 0.07958·180/π = 4.559°
答案
φ = 4.559°
4.轴的扭转
答案: τmax = 5.093 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·2/3.2 = 125 N·m
TB = 200·1.2/3.2 = 75 N·m
最大切应力
两个扭矩中较大者起控制作用（直径相同）。
τmax = 16·125000/(π·50³) = 5.093 MPa
答案
τmax = 5.093 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −15.48 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 50/58.31 = 0.8575, sin 2θs = −30/58.31 = −0.5145
2θs = atan2(−30, 50) = −30.96°
单元体上的角度
θs = −15.48°
校核: θs − θp = −15.48 − 29.52 = −45°
答案
θs = −15.48°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 173.5 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = F/A = 10000/(π·25²/4) = 10000/490.9 = 20.37 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 10.19 MPa
R = √(10.19² + 163²) = 163.3 MPa
σ1 = C + R = 173.5 MPa
σ2 = C − R = −153.1 MPa
答案
σ1 = 173.5 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.06463 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7.736 × 10⁸ N
缩短量
δ = 100000·500/7.736 × 10⁸ = 0.06463 mm
答案
δ = 0.06463 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 3.922 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 88.35 MPa
σ2 = 270.6 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 88.35·1500/70000 = 1.893 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 270.6·1500/200000 = 2.029 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.922 mm
答案
δ = 3.922 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.997 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/3000² = 5997 N = 5.997 kN
答案
Pcr = 5.997 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 226.6 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/15 = 93.33
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93.33² = 226.6 MPa
答案
σcr = 226.6 MPa
11.机械振动
答案: fd = 6.523 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(20000/10) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.4²) = 6.523 Hz
答案
fd = 6.523 Hz
12.机械振动
答案: keq = 23.08 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/30 + 1/100 → keq = 30·100/(30 + 100) = 23.08 kN/m
答案
keq = 23.08 kN/m
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