齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 90 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 90 mmm = 3 mmi = 3
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（36 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（18 齿）。求输出转速 nout。
nin = 2900 rpmA = 15B = 36C = 12D = 18
nout = rpm
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 20 mm 的实心试件受 30 N·m 的扭矩作用。标距 250 mm 两端的相对转角为 0.7°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 30 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0.7°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 500 rpm 下传递 30 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 30 kWN = 500 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 0 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 0 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 25° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 110 MPaσy = −80 MPaτxy = 60 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 400 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 100 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 80 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 80 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
一个 200 kg 的质量块挂在刚度为 80 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 200 kgk = 80 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 60 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 15
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·90/3 = 60
按传动比分配
N1 = 60/(1 + 3) = 15
答案
N1 = 15
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 805.6 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 2900·15/36 = 1208 rpm = nC
第二级
nout = 1208·12/18 = 805.6 rpm
答案
nout = 805.6 rpm
总传动比 = 3.6 : 1
3.轴的扭转
答案: G = 39.08 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0.7·π/180 = 0.01222 rad
剪切模量
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·250/(15708·0.01222) = 39081 MPa
G = 39.08 GPa
答案
G = 39.08 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: τmax = 14.41 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m
极惯性矩
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 572958·30/1.193 × 10⁶ = 14.41 MPa
答案
τmax = 14.41 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 64.03 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((0 − 80)/2)² + −50²) = 64.03 MPa
答案
τmax = 64.03 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 122 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 15 + 95·0.6428 + 60·0.766 = 122 MPa
答案
σθ = 122 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 70.69 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.4/5.659 × 10⁻⁶ = 70686 N = 70.69 kN
答案
P = 70.69 kN
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 76.61 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 70000·706.9/400 = 123700 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 100000·123700/228420 = 54155 N
应力
σ2 = 54155/706.9 = 76.61 MPa （压缩）
答案
σ2 = 76.61 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 23.32 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
计算长度
KL = 2·1000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2000² = 23317 N = 23.32 kN
答案
Pcr = 23.32 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 39.67 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 39.67 mm
答案
d = 39.67 mm
校核：长细比 KL/r 为 100.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: fd = 2.917 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(80000/200) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.4²) = 2.917 Hz
答案
fd = 2.917 Hz
12.机械振动
答案: fn = 2.757 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/20 + 1/60 → keq = 20·60/(20 + 60) = 15 kN/m
固有频率
ωn = √(15000/50) = 17.32 rad/s
fn = 17.32/(2π) = 2.757 Hz
答案
fn = 2.757 Hz
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