齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 11 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 20 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求齿轮轴上的输出扭矩 T2。
P = 11 kWn1 = 2900 rpmN1 = 20N2 = 72η = 95%
T2 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（18 齿）。齿轮 C（20 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（45 齿）。求输出转速 nout。
nin = 2900 rpmA = 15B = 18C = 20D = 45
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心钢轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 0.8 m、距 B 3 m 的 C 处施加 2000 N·m 的扭矩。 求墙 A 处的反扭矩 TA。
d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 0.8 mb = 3 m
TA = N·m
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 110 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 60°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 110 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 150 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 275 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 150 MPaσy = 30 MPaτxy = 50 MPaσY = 275 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 100 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 90 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 35 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 10 mm 之后 4 个周期出现峰值 1.3 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 10 mmx4 = 1.3 mmn = 4
ζ =
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 60 kN/m，下弹簧 k₂ = 12 kN/m。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 60 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T2 = 123.9 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/303.7 = 36.22 N·m
输出扭矩
T2 = 36.22·72/20·0.95 = 123.9 N·m
答案
T2 = 123.9 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 1074 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 2900·15/18 = 2417 rpm = nC
第二级
nout = 2417·20/45 = 1074 rpm
答案
nout = 1074 rpm
总传动比 = 2.7 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 21.55 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·38350) = 0.3761 rad
φ = 0.3761·180/π = 21.55°
答案
φ = 21.55°
4.轴的扭转
答案: TA = 1579 N·m
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·3/3.8 = 1579 N·m
TB = 2000·0.8/3.8 = 421.1 N·m
答案
TA = 1579 N·m
5.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 84.02 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 110 − 0·(−0.5) − 30·0.866 = 84.02 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = 136 MPa, σx′ + σy′ = 220 = σx + σy
答案
σy′ = 84.02 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.693
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 90 MPa, R = 78.1 MPa
σ1 = 168.1 MPa, σ2 = 11.9 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(168.1² − 168.1·11.9 + 11.9²) = 162.5 MPa
n = 275/162.5 = 1.693
答案
n = 1.693
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
7.轴向应力与应变
答案: ε = 1741 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 100·1000/490.9 = 203.7 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 203.7/117000 = 0.001741 = 1741 µε
答案
ε = 1741 µε
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 286.5 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 127.3 MPa
σ2 = 286.5 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 286.5 MPa
答案
σmax = 286.5 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 110.2 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110.2 kN
答案
Pcr = 110.2 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 49.63 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 49.63 mm
答案
d = 49.63 mm
校核：长细比 KL/r 为 112.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.08091
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/4)·ln(10/1.3) = 0.5101
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5101/√(39.48 + 0.2602) = 0.08091
答案
ζ = 0.08091
12.机械振动
答案: fn = 7.118 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/60 + 1/12 → keq = 60·12/(60 + 12) = 10 kN/m
固有频率
ωn = √(10000/5) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
答案
fn = 7.118 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design