齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 3 kW、转速 1450 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 3 kWn = 1450 rpmN1 = 20m = 5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（24 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 625 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？
nin = 1500 rpmA = 24B = 48C = 25nout = 625 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 75 mm，长 0.8 m；BC 段直径 60 mm，长 1 m。自由端 C 作用 1500 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。
T = 1500 N·md1 = 75 mm, L1 = 0.8 md2 = 60 mm, L2 = 1 mG = 80 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1450 rpm 下传递 15 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
P = 15 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.75τallow = 40 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 120 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。单元体按顺时针 45°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 120 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −60 MPaσy = −10 MPaτxy = −20 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铝杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 50 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 30 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 50 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 100 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 35 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 40 mm 之后 4 个周期出现峰值 11.4 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 40 mmx4 = 11.4 mmn = 4
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 25 kN/m。质量块保持水平。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 395.1 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 3000/151.8 = 19.76 N·m
分度圆直径
d = m·N = 5·20 = 100 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·19.76/0.1 = 395.1 N
答案
Ft = 395.1 N
2.齿轮与齿轮系
答案: ND = 30
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中间轴转速
nB = nC = 1500·24/48 = 750 rpm
齿轮 D 的齿数
ND = C·nC/nout = 25·750/625 = 30
答案
ND = 30
3.轴的扭转
答案: φC = 1.121 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
各段的扭转角
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 1.5 × 10⁶·800/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.004829 rad
φBC = 1.5 × 10⁶·1000/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.01474 rad
总扭转角
φC = 0.004829 + 0.01474 = 0.01957 rad = 1.121°
答案
φC = 1.121°
4.轴的扭转
答案: do = 26.4 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
由容许应力求外径
T = 98.79 N·m = 98786 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·98786/(π·40·0.6836)) = 26.4 mm
di = 0.75·26.4 = 19.8 mm
答案
do = 26.4 mm
实心轴需要 d = 23.26 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = −10 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 50 − 70·0 − (−60)·(−1) = −10 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = 110 MPa, σx′ + σy′ = 100 = σx + σy
答案
σy′ = −10 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −41.3 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −35 + −25·0.766 + −20·−0.6428 = −41.3 MPa
答案
σθ = −41.3 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 2.91 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 50·1000/490.9 = 101.9 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 101.9/70000 = 0.001455 = 1455 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.001455·2000 mm = 2.91 mm
答案
δ = 2.91 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 23.15 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 100000·392699/863938 = 45455 N
应力
σ2 = 45455/1963 = 23.15 MPa （压缩）
答案
σ2 = 23.15 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 3.504 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2800² = 3504 N = 3.504 kN
答案
Pcr = 3.504 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 46.42 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 46.42 mm
答案
d = 46.42 mm
校核：长细比 KL/r 为 129.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.机械振动
答案: ζ = 0.04988
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/4)·ln(40/11.4) = 0.3138
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3138/√(39.48 + 0.09848) = 0.04988
答案
ζ = 0.04988
12.机械振动
答案: keq = 105 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 80 + 25 = 105 kN/m
答案
keq = 105 kN/m
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