齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 1.5 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 15 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。 该齿轮副的效率为 95%。 求电动机轴上的扭矩 T1。
P = 1.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 15N2 = 72η = 95%
T1 = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
一台 1.5 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（60 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（30 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（32 齿）。每对齿轮啮合的效率为 97%。求输出转矩 Tout。
P = 1.5 kWnin = 1440 rpmA = 15B = 60C = 30D = 32ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 40 mm，内径 24 mm，长 0.5 m）一端固定，另一端受 250 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 250 N·mdo = 40 mmdi = 24 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 500 rpm 下传递 50 kW。切应力不得超过 80 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.75°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 50 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 30 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。单元体按逆时针 50°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。
σx = 30 MPaσy = −20 MPaτxy = −10 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1500 mm，壁厚 10 mm，所盛气体的表压为 3 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 40° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 1500 mmt = 10 mmp = 3 MPaα = 40°
σn = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 15 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 95 kN第 1 段：Ø30 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 4 个周期出现峰值 1.2 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 15 mmx4 = 1.2 mmn = 4
ζ =
12.机械振动困难
一个 25 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 30 kN/m，下弹簧 k₂ = 5 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: T1 = 14.92 N·m
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
电动机扭矩
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/100.5 = 14.92 N·m
答案
T1 = 14.92 N·m
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 39.93 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 1440·(15/60)·(30/32) = 337.5 rpm
ωout = 2π·337.5/60 = 35.34 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 1500·0.97² = 1411 W
Tout = Pout/ωout = 1411/35.34 = 39.93 N·m
答案
Tout = 39.93 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 0.8395 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
扭转角
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·500/(39000·218755) = 0.01465 rad
φ = 0.01465·180/π = 0.8395°
答案
φ = 0.8395°
4.轴的扭转
答案: d = 66.07 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m
按强度求直径
T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·80)) = 39.32 mm
按刚度求直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·954930/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 66.07 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(39.32, 66.07) = 66.07 mm
答案
d = 66.07 mm
这里由刚度控制。
5.莫尔圆与应力变换
答案: σy′ = 19.19 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
y′ 面的变换公式
σy′ = 5 − 25·(−0.1736) − (−10)·0.9848 = 19.19 MPa
校核
正应力之和不随旋转而变化。
σx′ = −9.189 MPa, σx′ + σy′ = 10 = σx + σy
答案
σy′ = 19.19 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 178.5 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 3·750/10 = 225 MPa
σa = pr/(2t) = 112.5 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 112.5·sin²40° + 225·cos²40° = 178.5 MPa
答案
σn = 178.5 MPa
7.轴向应力与应变
答案: ε = 408.1 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 15·1000/314.2 = 47.75 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 47.75/117000 = 0.0004081 = 408.1 µε
答案
ε = 408.1 µε
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 840 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 840 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 840 MPa
答案
σmax = 840 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 16.82 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16.82 kN
答案
Pcr = 16.82 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 30.71 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
回转半径和长细比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·1500 = 750 mm
KL/r = 750/5 = 150
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa
答案
σcr = 30.71 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.09999
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/4)·ln(15/1.2) = 0.6314
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6314/√(39.48 + 0.3987) = 0.09999
答案
ζ = 0.09999
12.机械振动
答案: keq = 4.286 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/30 + 1/5 → keq = 30·5/(30 + 5) = 4.286 kN/m
答案
keq = 4.286 kN/m
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