齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 22 kW、转速 1450 rpm 的电动机驱动一个齿数为 24、模数为 5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 22 kWn = 1450 rpmN1 = 24m = 5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 1000 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 160 mmd2 = 500 mmC = 1000 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 20 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 500 rpm 下传递 10 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 10 kWN = 500 rpmdo = 80 mmdi = 64 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −70 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −70 MPaσy = −80 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 40° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 60 mm，长 400 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 45 kN第 1 段：Ø25 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 20 mm 之后 3 个周期出现峰值 9.4 mm。 求阻尼比 ζ。
x0 = 20 mmx3 = 9.4 mmn = 3
ζ =
12.机械振动困难
一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 12 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 2415 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 22000/151.8 = 144.9 N·m
分度圆直径
d = m·N = 5·24 = 120 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·144.9/0.12 = 2415 N
答案
Ft = 2415 N
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 160.4 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.17) = 9.788°
包角
θ = 180 − 2·9.788 = 160.4°
答案
θ = 160.4°
3.轴的扭转
答案: φ = 13.68 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·15708) = 0.2387 rad
φ = 0.2387·180/π = 13.68°
答案
φ = 13.68°
4.轴的扭转
答案: τmax = 3.218 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m
极惯性矩
J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 190986·40/2.374 × 10⁶ = 3.218 MPa
答案
τmax = 3.218 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = −37.98 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·−20, −70 − −80) = −75.96°
单元体上的角度
θp = −37.98°
答案
θp = −37.98°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 132.1 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 80 + −40·0.1736 + 60·0.9848 = 132.1 MPa
答案
σθ = 132.1 MPa
7.轴向应力与应变
答案: P = 40.39 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1.415 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/6.189 × 10⁻⁶ = 40392 N = 40.39 kN
答案
P = 40.39 kN
8.轴向应力与应变
答案: σmax = 223.8 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 91.67 MPa
σ2 = 223.8 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 223.8 MPa
答案
σmax = 223.8 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 10.66 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
计算长度
KL = 2·2500 = 5000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/5000² = 10659 N = 10.66 kN
答案
Pcr = 10.66 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 100.7 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/20 = 140
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa
答案
σcr = 100.7 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.04002
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
对数衰减率
δ = (1/3)·ln(20/9.4) = 0.2517
阻尼比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2517/√(39.48 + 0.06334) = 0.04002
答案
ζ = 0.04002
12.机械振动
答案: fn = 12.53 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。
keq = 12 + 50 = 62 kN/m
固有频率
ωn = √(62000/10) = 78.74 rad/s
fn = 78.74/(2π) = 12.53 Hz
答案
fn = 12.53 Hz
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