齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一个 100 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 500 mm 的带轮，打滑率为 1.5 %。求从动轮的转速 n2。
n1 = 1450 rpmd1 = 100 mmd2 = 500 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.齿轮与齿轮系困难
一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 800 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。
d1 = 160 mmd2 = 450 mmC = 800 mm
θ = °
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 30 N·m 的扭矩作用。标距 300 mm 两端的相对转角为 1.3°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 30 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 1.3°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 500 rpm 下传递 100 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
P = 100 kWN = 500 rpmdi/do = 0.75τallow = 40 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 140 MPa、σᵧ = 70 MPa。在最大主应力达到 150 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 140 MPaσy = 70 MPaσ1 = 150 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1200 mm，壁厚 5 mm，所盛气体的表压为 0.8 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 40° 的螺旋焊缝焊接而成。 求沿焊缝作用的切应力 |τn| 的大小。
D = 1200 mmt = 5 mmp = 0.8 MPaα = 40°
|τn| = MPa
7.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 80 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 40 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 40 mm，长 300 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 2 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 2 kgk = 50 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 30 kN/m，下弹簧 k₂ = 12 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: n2 = 285.6 rpm
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
无打滑时的转速
1450·100/500 = 290 rpm
有打滑
n2 = 290·0.985 = 285.6 rpm
答案
n2 = 285.6 rpm
2.齿轮与齿轮系
答案: θ = 159.1 °
皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = eμθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。
皮带角
asin(0.1812) = 10.44°
包角
θ = 180 − 2·10.44 = 159.1°
答案
θ = 159.1°
3.轴的扭转
答案: G = 79.81 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 1.3·π/180 = 0.02269 rad
剪切模量
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(4970·0.02269) = 79810 MPa
G = 79.81 GPa
答案
G = 79.81 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: do = 70.86 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
由容许应力求外径
T = 1910 N·m = 1.91 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.91 × 10⁶/(π·40·0.6836)) = 70.86 mm
di = 0.75·70.86 = 53.14 mm
答案
do = 70.86 mm
实心轴需要 d = 62.42 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 28.28 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (140 + 70)/2 = 105 MPa
R = σ1 − C = 150 − 105 = 45 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 35²) = 28.28 MPa
答案
τxy = 28.28 MPa
6.莫尔圆与应力变换
答案: |τn| = 23.64 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 0.8·600/5 = 96 MPa
σa = pr/(2t) = 48 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
|τn| = (96 − 48)·sin 40°·cos 40° = 23.64 MPa
答案
|τn| = 23.64 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 0.1271 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·4006 = 5.034 × 10⁸ N
缩短量
δ = 80000·800/5.034 × 10⁸ = 0.1271 mm
答案
δ = 0.1271 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 7.074 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·502655/1.131 × 10⁶ = 8889 N
应力
σ2 = 8889/1257 = 7.074 MPa （压缩）
答案
σ2 = 7.074 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.062 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1750² = 5062 N = 5.062 kN
答案
Pcr = 5.062 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 12.34 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/20 = 400
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答案
σcr = 12.34 MPa
11.机械振动
答案: fd = 21.79 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(50000/2) = 158.1 rad/s
fn = 158.1/(2π) = 25.16 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 25.16·√(1 − 0.5²) = 21.79 Hz
答案
fd = 21.79 Hz
12.机械振动
答案: keq = 8.571 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/30 + 1/12 → keq = 30·12/(30 + 12) = 8.571 kN/m
答案
keq = 8.571 kN/m
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