齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 225 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 小齿轮须有多少个齿 N1？
a = 225 mmm = 3 mmi = 4
N1 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（36 齿）。齿轮 C（16 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 nout。
nin = 3000 rpmA = 30B = 36C = 16D = 48
nout = rpm
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1450 rpm 下传递 30 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
P = 30 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.75τallow = 60 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −50 MPaσy = −20 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = −60 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 30 MPaσy = −60 MPaτxy = −30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 65 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 90 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 80 kg 的质量块由刚度为 15 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 660 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 80 kgk = 15 kN/mc = 660 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 50 kgk1 = 20 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N1 = 30
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·225/3 = 150
按传动比分配
N1 = 150/(1 + 4) = 30
答案
N1 = 30
2.齿轮与齿轮系
答案: nout = 833.3 rpm
齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。
第一级
nB = 3000·30/36 = 2500 rpm = nC
第二级
nout = 2500·16/48 = 833.3 rpm
答案
nout = 833.3 rpm
总传动比 = 3.6 : 1
3.轴的扭转
答案: φ = 0.5986 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·613592) = 0.01045 rad
φ = 0.01045·180/π = 0.5986°
答案
φ = 0.5986°
4.轴的扭转
答案: do = 29.06 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m
由容许应力求外径
T = 197.6 N·m = 197572 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·197572/(π·60·0.6836)) = 29.06 mm
di = 0.75·29.06 = 21.79 mm
答案
do = 29.06 mm
实心轴需要 d = 25.6 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 52.02 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·60, −50 − −20) = 104°
单元体上的角度
θp = 52.02°
答案
θp = 52.02°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −52.36 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −15 + 45·−0.1736 + −30·0.9848 = −52.36 MPa
答案
σθ = −52.36 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 3.233 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 65·1000/201.1 = 323.3 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 323.3/100000 = 0.003233 = 3233 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.003233·1000 mm = 3.233 mm
答案
δ = 3.233 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 8.425 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 93.54 MPa
σ2 = 795.8 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 93.54·500/100000 = 0.4677 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 795.8·2000/200000 = 7.958 mm
δ = δ1 + δ2 = 8.425 mm
答案
δ = 8.425 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 5.426 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 1·4000 = 4000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5.426 kN
答案
Pcr = 5.426 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 30.71 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/10 = 150
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa
答案
σcr = 30.71 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.3012
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·80) = 2191 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 660/2191 = 0.3012
答案
ζ = 0.3012
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: fn = 2.718 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 20 + 15 = 35 kN/m
keq = 35·25/(35 + 25) = 14.58 kN/m
固有频率
ωn = √(14583/50) = 17.08 rad/s
fn = 17.08/(2π) = 2.718 Hz
答案
fn = 2.718 Hz
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