机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
Tw​ = ?z = 4, 2900 rpm

一台 3 kW、2900 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 80 个齿，传动效率为 55%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。

z = 4Nw = 80n = 2900 rpmP = 3 kWη = 55%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
A = 15B = 40C = 12D = ?

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 432 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 ND？

nin = 1440 rpmA = 15B = 40C = 12nout = 432 rpm
ND =
3.轴的扭转中等
d1​ = 50 mmd2​ = 40 mmT = 750 N·mABC0.5 m2.5 m

一根阶梯形实心钢轴在 A 端固定。AB 段直径 50 mm，长 0.5 m；BC 段直径 40 mm，长 2.5 m。自由端 C 作用 750 N·m 的扭矩。 求端部 C 的扭转角 φC，以度表示。

T = 750 N·md1 = 50 mm, L1 = 0.5 md2 = 40 mm, L2 = 2.5 mG = 80 GPa
φC = °
4.轴的扭转困难
do​ = ?50 kW, 1800 rpm

一根空心轴须在 1800 rpm 下传递 50 kW。 其内径为外径的 0.5 倍，切应力不得超过 50 MPa。求最小外径 do。

P = 50 kWN = 1800 rpmdi/do = 0.5τallow = 50 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = −50σy​ = 0τxy​ = 30MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。

σx = −50 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = 60σy​ = −10τxy​ = −40MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 60 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 460 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。

σx = 60 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPaσY = 460 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
Ø 20 mm铜1 mP = 15 kN

求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 15 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
Ø 40 mm铝1.5 mØ 16 mm铝0.5 mP = 35 kN

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 35 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 1.5 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 2.5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
k = 15 kN/mc = 260 N·s/mm = 50 kg

一个 50 kg 的质量块由刚度为 15 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 260 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 50 kgk = 15 kN/mc = 260 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
k1​ = 25k2​ = 12m = 50 kg

一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。

m = 50 kgk1 = 25 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: Tw = 108.7 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

蜗轮转速

nw = n·z/Nw = 2900·4/80 = 145 rpm

输出扭矩

ωw = 2π·145/60 = 15.18 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.55·3000/15.18 = 108.7 N·m

答案

Tw = 108.7 N·m
2.齿轮与齿轮系

答案: ND = 15

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

中间轴转速

nB = nC = 1440·15/40 = 540 rpm

齿轮 D 的齿数

ND = C·nC/nout = 12·540/432 = 15

答案

ND = 15
3.轴的扭转

答案: φC = 5.781 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

各段的扭转角

T = 750 N·m = 750000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 750000·500/(80000·613592) = 0.007639 rad
φBC = 750000·2500/(80000·251327) = 0.09325 rad

总扭转角

φC = 0.007639 + 0.09325 = 0.1009 rad = 5.781°

答案

φC = 5.781°
4.轴的扭转

答案: do = 30.66 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m

由容许应力求外径

T = 265.3 N·m = 265258 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·50·0.9375)) = 30.66 mm
di = 0.5·30.66 = 15.33 mm

答案

do = 30.66 mm

实心轴需要 d = 30.01 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

5.莫尔圆与应力变换

答案: θp = 64.9 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

στxyCσ1​σ2​

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θp = atan2(2·30, −50 − 0) = 129.8°

单元体上的角度

θp = 64.9°

答案

θp = 64.9°

逆时针方向的角度为正。

6.莫尔圆与应力变换

答案: n = 4.327

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

στxyCσ1​σ2​

主应力

C = 25 MPa, R = 53.15 MPa
σ1 = 78.15 MPa, σ2 = −28.15 MPa, σ3 = 0

特雷斯卡

σmax − σmin = 106.3 MPa
n = 460/106.3 = 4.327

答案

n = 4.327

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

7.轴向应力与应变

答案: δ = 0.4081 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 15·1000/314.2 = 47.75 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 47.75/117000 = 0.0004081 = 408.1 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.0004081·1000 mm = 0.4081 mm

答案

δ = 0.4081 mm
8.轴向应力与应变

答案: δ = 1.84 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 27.85 MPa
σ2 = 174.1 MPa

叠加各段伸长量

δ1 = σ1L1/E1 = 27.85·1500/70000 = 0.5968 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 174.1·500/70000 = 1.243 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.84 mm

答案

δ = 1.84 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 2.412 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2.412 kN

答案

Pcr = 2.412 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 126.3 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/10 = 125

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa

答案

σcr = 126.3 MPa
11.机械振动

答案: ζ = 0.1501

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·50) = 1732 N·s/m

阻尼比

ζ = c/cc = 260/1732 = 0.1501

答案

ζ = 0.1501

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

12.机械振动

答案: fn = 4.329 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。

keq = 25 + 12 = 37 kN/m

固有频率

ωn = √(37000/50) = 27.2 rad/s
fn = 27.2/(2π) = 4.329 Hz

答案

fn = 4.329 Hz

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