机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 120 mm。须用一对模数为 2.5 mm、减速比为 3 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 120 mmm = 2.5 mmi = 3

N₂ =

2.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（15 齿）以 960 rpm 转动，驱动齿轮 B（24 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 112.5 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 960 rpmA = 15B = 24C = 15n_out = 112.5 rpm

N_D =

3.轴的扭转中等

一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 100 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根直径 40 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 1 m 的 B 处作用 2000 N·m 的扭矩，再往前 1 m 的自由端 C 处作用一个反向的 500 N·m 扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 500 N·mAB = 1 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 10 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。单元体按顺时针 45°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σ_y′。

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 140 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 120 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 100 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 100 kN杆: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.轴向应力与应变困难

一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa，许用应力 120 MPa）放在一根铝管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 70 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 P_max。

杆: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 240 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 25 kgk = 25 kN/mc = 240 N·s/m

ζ =

12.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 72

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/2.5 = 96

按传动比分配

N₁ = 96/(1 + 3) = 24

N₂ = 3·24 = 72

答案

N₂ = 72

2.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

中间轴转速

n_B = n_C = 960·15/24 = 600 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 15·600/112.5 = 80

答案

N_D = 80

3.轴的扭转

答案: φ = 4.676 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·15708) = 0.08162 rad

φ = 0.08162·180/π = 4.676°

答案

φ = 4.676°

4.轴的扭转

答案: τ_max = 119.4 MPa

内扭矩

取 T_C 的转向为正。

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 2000 = −1500 N·m

最大切应力

内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1.5 × 10⁶/(π·40³) = 119.4 MPa

答案

τ_max = 119.4 MPa

5.莫尔圆与应力变换

答案: σ_y′ = 85 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

y′ 面的变换公式

σ_y′ = 55 − (−45)·0 − 30·(−1) = 85 MPa

校核

正应力之和不随旋转而变化。

σ_x′ = 25 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 110 = σ_x + σ_y

答案

σ_y′ = 85 MPa

6.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 100 MPa

变换公式

σ_θ = 70 + 70·0 + −30·−1 = 100 MPa

答案

σ_θ = 100 MPa

7.轴向应力与应变

答案: δ = 0.04353 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·7461 = 9.189 × 10⁸ N

缩短量

δ = 100000·400/9.189 × 10⁸ = 0.04353 mm

答案

δ = 0.04353 mm

8.轴向应力与应变

答案: P_max = 205.9 kN

面积

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·4006 = 3.432 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.0006, 0.001429) = 0.0006 (钢)

最大载荷

P_max = 0.0006·3.432 × 10⁸ = 205931 N = 205.9 kN

答案

P_max = 205.9 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 13.25 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 1·4000 = 4000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13.25 kN

答案

P_cr = 13.25 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 12.34 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6.25 = 400

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

答案

σ_cr = 12.34 MPa

11.机械振动

答案: ζ = 0.1518

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·25) = 1581 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 240/1581 = 0.1518

答案

ζ = 0.1518

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

12.机械振动

答案: f_n = 9.073 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 50 + 80 = 130 kN/m

固有频率

ω_n = √(130000/40) = 57.01 rad/s

f_n = 57.01/(2π) = 9.073 Hz

答案

f_n = 9.073 Hz

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