齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
一台 7.5 kW、转速 1450 rpm 的电动机驱动一个齿数为 25、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 Ft。
P = 7.5 kWn = 1450 rpmN1 = 25m = 2.5 mm
Ft = N
2.齿轮与齿轮系困难
一台 5.5 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（48 齿），A 与齿轮 B（60 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（12 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（20 齿）。每对齿轮啮合的效率为 95%。求输出转矩 Tout。
P = 5.5 kWnin = 1440 rpmA = 48B = 60C = 12D = 20ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴须在 1500 rpm 下传递 10 kW。 其内径为外径的 0.75 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
P = 10 kWN = 1500 rpmdi/do = 0.75τallow = 60 MPa
do = mm
5.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −70 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −70 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 100 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。
σx = 100 MPaσy = −50 MPaτxy = −30 MPa
σvM = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 115 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 15 kN第 1 段：Ø40 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1.5 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 20 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 710 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。
m = 20 kgk = 25 kN/mc = 710 N·s/m
ζ =
12.机械振动困难
一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 5 kN/m，下弹簧 k₂ = 12 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
m = 100 kgk1 = 5 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: Ft = 1581 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
小齿轮上的转矩
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 7500/151.8 = 49.39 N·m
分度圆直径
d = m·N = 2.5·25 = 62.5 mm
切向力
Ft = 2T/d = 2·49.39/0.0625 = 1581 N
答案
Ft = 1581 N
2.齿轮与齿轮系
答案: Tout = 68.58 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
输出转速
nout = 1440·(48/60)·(12/20) = 691.2 rpm
ωout = 2π·691.2/60 = 72.38 rad/s
输出功率和转矩
Pout = 5500·0.95² = 4964 W
Tout = Pout/ωout = 4964/72.38 = 68.58 N·m
答案
Tout = 68.58 N·m
3.轴的扭转
答案: φ = 2.394 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(39000·613592) = 0.04179 rad
φ = 0.04179·180/π = 2.394°
答案
φ = 2.394°
4.轴的扭转
答案: do = 19.92 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m
由容许应力求外径
T = 63.66 N·m = 63662 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·60·0.6836)) = 19.92 mm
di = 0.75·19.92 = 14.94 mm
答案
do = 19.92 mm
实心轴需要 d = 17.55 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
5.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −4.731 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = 30/30.41 = 0.9864, sin 2θs = −5/30.41 = −0.1644
2θs = atan2(−5, 30) = −9.462°
单元体上的角度
θs = −4.731°
校核: θs − θp = −4.731 − 40.27 = −45°
答案
θs = −4.731°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σvM = 142.1 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 25 MPa, R = 80.78 MPa
σ1 = 105.8 MPa, σ2 = −55.78 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(105.8² − 105.8·(−55.78) + (−55.78)²) = 142.1 MPa
答案
σvM = 142.1 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 17.38 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 115·1000/113.1 = 1017 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 1017/117000 = 0.008691 = 8691 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.008691·2000 mm = 17.38 mm
答案
δ = 17.38 mm
8.轴向应力与应变
答案: δ = 1.109 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 11.94 MPa
σ2 = 74.6 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 11.94·1500/117000 = 0.153 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 74.6·1500/117000 = 0.9565 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.109 mm
答案
δ = 1.109 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 154.3 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154.3 kN
答案
Pcr = 154.3 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 4.318 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/7.5 = 400
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答案
σcr = 4.318 MPa
11.机械振动
答案: ζ = 0.502
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
临界阻尼
cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·20) = 1414 N·s/m
阻尼比
ζ = c/cc = 710/1414 = 0.502
答案
ζ = 0.502
ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。
12.机械振动
答案: keq = 3.529 kN/m
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/5 + 1/12 → keq = 5·12/(5 + 12) = 3.529 kN/m
答案
keq = 3.529 kN/m
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