机械设计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

齿轮与齿轮系

啮合齿轮
n1·N1 = n2·N2
扭矩
T2 = T1·(N2/N1)·η
功率
P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系
总传动比 = 各级传动比之积

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

机械振动

固有频率
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
由静挠度求
ωn = √(g/δst)
临界阻尼
cc = 2√(km) = 2mωn
阻尼比
ζ = c/cc
阻尼固有频率
ωd = ωn√(1 − ζ²)
对数衰减率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联
k = k1 + k2
弹簧串联
1/k = 1/k1 + 1/k2

2练习题

1.齿轮与齿轮系中等
Tw​ = ?z = 4, 1450 rpm

一台 1.5 kW、1450 rpm 的电动机驱动一个 4 头的蜗杆。蜗轮有 60 个齿，传动效率为 50%。求蜗轮轴上的输出转矩 Tw。

z = 4Nw = 60n = 1450 rpmP = 1.5 kWη = 50%
Tw = N·m
2.齿轮与齿轮系困难
Ns​ = 18nr​ = ?Np​ = 30行星架固定

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 18 个齿，每个行星轮有 30 个齿。行星架固定，太阳轮以 900 rpm 驱动。求齿圈的转速 nr（大小）。

Ns = 18Np = 30ns = 900 rpm
nr = rpm
3.轴的扭转中等
d = ?T = 500 N·mL = 1.2 m

一根长 1.2 m 的实心钢轴承受 500 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 3°。求满足该限值的最小直径 d。

T = 500 N·mL = 1.2 mG = 80 GPaφallow = 3°
d = mm
4.轴的扭转困难
Tdo​ = 80 mm, di​ = 64 mm

一根空心轴在 1800 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τmax。

P = 75 kWN = 1800 rpmdo = 80 mmdi = 64 mm
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = 110σy​ = −10MPaτxy​ = ?

某点 σₓ = 110 MPa、σᵧ = −10 MPa。在最大主应力达到 145 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？

σx = 110 MPaσy = −10 MPaσ1 = 145 MPa
τxy = MPa
6.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = 40σy​ = 120τxy​ = −30MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 40 MPa，σᵧ = 120 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 300 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。

σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = −30 MPaσY = 300 MPa
n =
7.轴向应力与应变中等
80 kNØ40120 GPaØ120/50500 mmδ = ?

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。

P = 80 kN杆: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
30 kN12400 mm200 mmØ25Ø40σ2​ = ?

一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 200 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 35 kNL = 1 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 35 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 35 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.机械振动中等
k = 5 kN/mζ = 0.35m = 40 kg

一个 40 kg 的质量块挂在刚度为 5 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。

m = 40 kgk = 5 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.机械振动困难
k1​ = 20k2​ = 50m = 100 kg

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。 忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。

m = 100 kgk1 = 20 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz

3溶液

1.齿轮与齿轮系

答案: Tw = 74.09 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

蜗轮转速

nw = n·z/Nw = 1450·4/60 = 96.67 rpm

输出扭矩

ωw = 2π·96.67/60 = 10.12 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.5·1500/10.12 = 74.09 N·m

答案

Tw = 74.09 N·m
2.齿轮与齿轮系

答案: nr = 207.7 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·30 = 78

行星架固定时的威利斯方程

nc = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

nr = −ns·Ns/Nr = −900·18/78 = −207.7 rpm
|nr| = 207.7 rpm

答案

nr = 207.7 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

3.轴的扭转

答案: d = 34.75 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

所需的极惯性矩

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·1200/(80000·0.05236) = 143239 mm⁴

直径

d = (32J/π)1/4 = 34.75 mm

答案

d = 34.75 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

4.轴的扭转

答案: τmax = 6.704 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m

极惯性矩

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τmax = T·(do/2)/J = 397887·40/2.374 × 10⁶ = 6.704 MPa

答案

τmax = 6.704 MPa
5.莫尔圆与应力变换

答案: τxy = 73.65 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

所需半径

C = (110 + (−10))/2 = 50 MPa
R = σ1 − C = 145 − 50 = 95 MPa
στxyCσ1​σ2​

切应力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 60²) = 73.65 MPa

答案

τxy = 73.65 MPa
6.莫尔圆与应力变换

答案: n = 2.545

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

στxyCσ1​σ2​

主应力

C = 80 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 130 MPa, σ2 = 30 MPa, σ3 = 0

冯·米塞斯

σvM = √(130² − 130·30 + 30²) = 117.9 MPa
n = 300/117.9 = 2.545

答案

n = 2.545

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

7.轴向应力与应变

答案: δ = 0.02914 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1.373 × 10⁹ N

缩短量

δ = 80000·500/1.373 × 10⁹ = 0.02914 mm

答案

δ = 0.02914 mm
8.轴向应力与应变

答案: σ2 = 17.17 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

第 2 段的份额

F2 = 30000·628319/873755 = 21573 N

应力

σ2 = 21573/1257 = 17.17 MPa （压缩）

答案

σ2 = 17.17 MPa
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 5.062 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1750² = 5062 N = 5.062 kN

答案

Pcr = 5.062 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 43.6 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·35000 = 87500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 43.6 mm

答案

d = 43.6 mm

校核：长细比 KL/r 为 183.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.机械振动

答案: fd = 1.667 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ωn = √(5000/40) = 11.18 rad/s
fn = 11.18/(2π) = 1.779 Hz

有阻尼固有频率

fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.779·√(1 − 0.35²) = 1.667 Hz

答案

fd = 1.667 Hz
12.机械振动

答案: fn = 4.211 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k1 + k2。

keq = 20 + 50 = 70 kN/m

固有频率

ωn = √(70000/100) = 26.46 rad/s
fn = 26.46/(2π) = 4.211 Hz

答案

fn = 4.211 Hz

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