齿轮与齿轮系
- 啮合齿轮
- n1·N1 = n2·N2
- 扭矩
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 功率
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 复合轮系
- 总传动比 = 各级传动比之积
机械设计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
机械振动
- 固有频率
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 由静挠度求
- ωn = √(g/δst)
- 临界阻尼
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 阻尼比
- ζ = c/cc
- 阻尼固有频率
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 对数衰减率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 弹簧并联
- k = k1 + k2
- 弹簧串联
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2练习题
1.齿轮与齿轮系中等
两根平行轴相距 144 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。 大齿轮须有多少个齿 N2？
a = 144 mmm = 3 mmi = 5
N2 =
2.齿轮与齿轮系困难
在一个行星齿轮系中，太阳轮有 12 个齿，每个行星轮有 12 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1440 rpm 驱动。求行星架的转速 nc。
Ns = 12Np = 12ns = 1440 rpm
nc = rpm
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 15 mm 的实心试件受 30 N·m 的扭矩作用。标距 300 mm 两端的相对转角为 3.99°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 30 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 3.99°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 2 m 的 B 处作用 1500 N·m 的扭矩，再往前 2.5 m 的自由端 C 处作用一个反向的 250 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
d = 30 mmTB = 1500 N·mTC = 250 N·mAB = 2 mBC = 2.5 m
τmax = MPa
5.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 100 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −60 MPa，σᵧ = 100 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 15° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −60 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.轴向应力与应变中等
求铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 105 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 30 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 300 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
σcr = MPa
11.机械振动中等
一个 12 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.45。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
m = 12 kgk = 50 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.机械振动困难
一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。 忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
m = 5 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.齿轮与齿轮系
答案: N2 = 80
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
总齿数
N1 + N2 = 2a/m = 2·144/3 = 96
按传动比分配
N1 = 96/(1 + 5) = 16
N2 = 5·16 = 80
答案
N2 = 80
2.齿轮与齿轮系
答案: nc = 360 rpm
行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。
齿圈齿数
Nr = Ns + 2·Np = 12 + 2·12 = 36
齿圈固定时的威利斯方程
令 nr = 0，求行星架的转速。
(1440 − nc)/(0 − nc) = −36/12
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1440·12/48 = 360 rpm
答案
nc = 360 rpm
行星架与太阳轮转向相同。
3.轴的扭转
答案: G = 26 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 3.99·π/180 = 0.06964 rad
剪切模量
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(4970·0.06964) = 26003 MPa
G = 26 GPa
答案
G = 26 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: τmax = 235.8 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 1500 = −1250 N·m
最大切应力
内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。
|T|max = 1250 N·m
τmax = 16·1.25 × 10⁶/(π·30³) = 235.8 MPa
答案
τmax = 235.8 MPa
5.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 11.6 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, 100 − −40) = 23.2°
单元体上的角度
θp = 11.6°
答案
θp = 11.6°
逆时针方向的角度为正。
6.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −34.28 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 20 + −80·0.866 + 30·0.5 = −34.28 MPa
答案
σθ = −34.28 MPa
7.轴向应力与应变
答案: δ = 19.84 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113.1 = 928.4 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 928.4/117000 = 0.007935 = 7935 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.007935·2500 mm = 19.84 mm
答案
δ = 19.84 mm
8.轴向应力与应变
答案: σ2 = 7.49 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·418879/890118 = 9412 N
应力
σ2 = 9412/1257 = 7.49 MPa （压缩）
答案
σ2 = 7.49 MPa
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 70.18 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3000² = 70184 N = 70.18 kN
答案
Pcr = 70.18 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 8.812 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7.5 = 280
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa
答案
σcr = 8.812 MPa
11.机械振动
答案: fd = 9.174 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
无阻尼固有频率
ωn = √(50000/12) = 64.55 rad/s
fn = 64.55/(2π) = 10.27 Hz
有阻尼固有频率
fd = fn·√(1 − ζ²) = 10.27·√(1 − 0.45²) = 9.174 Hz
答案
fd = 9.174 Hz
12.机械振动
答案: fn = 9.416 Hz
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
等效刚度
只有 k1 和 k2 是并联的。这一对与 k3 串联，所以要按倒数组合。
k12 = 60 + 80 = 140 kN/m
keq = 140·20/(140 + 20) = 17.5 kN/m
固有频率
ωn = √(17500/5) = 59.16 rad/s
fn = 59.16/(2π) = 9.416 Hz
答案
fn = 9.416 Hz
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