测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−3 VR1​ = 1000 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = 10 ΩR4​ = 10 Ωab+−Rth​ = ?

求图示电桥从输出端 a、b 看进去的戴维南电阻 Rth。

Vs = 3 VR1 = 1000 ΩR2 = 300 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 Ω
Rth = Ω
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​

某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2）的激励电压为 3 V。要测量的最大应变为 1500 µε，它在模数转换器输入端必须给出 2.5 V。求放大器增益 G。

Vs = 3 VGF = 2εmax = 1500 µεVFS = 2.5 V
G =
3.数据采集与采样中等
Vin​N = 14VFSR​2ᴺ − 101 LSB

求 14 位 ADC 在满量程正弦波下的理想信号量化噪声比 SQNR。

N = 14
SQNR = dB
4.数据采集与采样困难
T10 mV/°C×2∿01N = 12, 5 V? °C/LSB

一个温度传感器给出 10 mV/°C（0 °C 时为 0 V）。其信号被放大 2 倍后送入量程为 0 到 5 V 的 12 位 ADC（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。求对应一个 LSB 的温度变化 ΔTLSB。

S = 10 mV/°CG = 2N = 12VFSR = 5 V
ΔTLSB = °C
5.运放电路中等
−+Vout​R2​ = 4.7 kΩV1​ = 1.6 VR1​ = 10 kΩV2​ = 2.2 VR3​ = 10 kΩR4​ = 4.7 kΩ

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R3 = R1，R4 = R2。 求反相输入端的电压 V−。

V1 = 1.6 VV2 = 2.2 VR1 = R3 = 10 kΩR2 = R4 = 4.7 kΩ
V− = V
6.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = −0.4 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1.6 VR3​ = 10 kΩR4​ = 47 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = −0.4 VV2 = 1.6 VR1 = 10 kΩR2 = 22 kΩR3 = 10 kΩR4 = 47 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​8 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​4 ΩBR6​5 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 9 VR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 4 ΩR5 = 4 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAIs​1 ABRL​20 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 36 VIs = 1 AR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩRL = 20 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Rth = 235.8 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

电源短路

R₁∥R₂ = 1000·300/1300 = 230.8 Ω
R₃∥R₄ = 10·10/20 = 5 Ω

戴维南电阻

Rth = 235.8 Ω

答案

Rth = 235.8 Ω
2.惠斯通电桥与应变片

答案: G = 1111

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程时的电桥输出

Vo = 2.25 mV

增益

G = 2.5/0.00225 = 1111

答案

G = 1111
3.数据采集与采样

答案: SQNR = 86.04 dB

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

理想 SQNR

SQNR = 6.02·14 + 1.76 = 86.04 dB

答案

SQNR = 86.04 dB
4.数据采集与采样

答案: ΔTLSB = 0.06104 °C

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 5000/4096 = 1.221 mV

ADC 处的灵敏度

10·2 = 20 mV/°C

温度分辨率

ΔTLSB = 1.221/20 = 0.06104 °C

答案

ΔTLSB = 0.06104 °C

ADC 在 250 °C 时达到满量程。

5.运放电路

答案: V− = 0.7034 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2.2·4.7/(10 + 4.7) = 0.7034 V
V₋ = V₊

答案

V− = 0.7034 V
6.运放电路

答案: Vout = 5.102 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.6·47/(10 + 47) = 1.319 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(22/10)·(−0.4) + (1 + 22/10)·1.319 = 0.88 + 4.222 = 5.102 V

答案

Vout = 5.102 V
7.串并联电阻

答案: IR1 = 3.947 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1.8 Ω
Req = R1 + 1.8 = 2 + 1.8 = 3.8 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/3.8 = 3.947 A

答案

IR1 = 3.947 A
8.串并联电阻

答案: Req = 28.18 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 25 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​4 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 5 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 2.769 Ω
R3 + 2.769 = 8.769 Ω
R2 ∥ 8.769 = 3.184 Ω
Req = R1 + 3.184 = 25 + 3.184 = 28.18 Ω

答案

Req = 28.18 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.895 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.308 + 5 = 7.308 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·10/(3+10) = 13.85 V
IN​1.895 ARth​7.308 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 13.85/7.308 = 1.895 A
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 16.02 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.571 + 15 = 23.57 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 15.43 + 1·8.571 = 24 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24 + 1·15 = 39 V
Rth​ = 23.57 Ω+−Vth​39 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 39/(23.57 + 20) = 0.8951 A
PL = IL²·RL = 0.8951²·20 = 16.02 W

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