测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 350 Ω，V_s = 2 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 70 Ω。求精确输出 V_ab，单位为 mV。

V_s = 2 VR = 350 ΩΔR = 70 Ω

V_ab = mV

2.惠斯通电桥与应变片困难

一个 350 Ω、灵敏系数为 2 的应变片贴在钢棒上。受载时其电阻增大了 0.56 Ω。求应变 ε，单位为微应变（µε）。

R = 350 ΩGF = 2ΔR = 0.56 Ω

ε = µε

3.数据采集与采样中等

一条 UART 以 9600 波特、8E2 格式发送字节：8 个数据位、一个偶校验位和 2 个停止位，外加起始位。求它每秒最多能传输多少个数据字节。

baud = 9600 Bd8E2

R_B = B/s

4.数据采集与采样困难

一个 12 位 ADC 通过 UART 以 57600 波特、8N1 格式（起始位、8 个数据位、1 个停止位）发送每个采样点。每个采样点以 2 个整字节发送，且链路一直处于忙碌状态。求能无混叠采样的最高信号频率 f_max，单位 Hz。

baud = 57600 BdN = 128N1

f_max = Hz

5.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 5 VR_a = 2 kΩR_b = 4.7 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

6.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −1.1 V 时，电容未充电。 t = 0 之后多长时间输出达到饱和？求 t。

V_in = −1.1 VR = 47 kΩC = 0.1 µFV_sat = ±12 V

t = ms

7.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 4 Ω

P_L = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: V_ab = 90.91 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

节点电压

V_a = 2·420/770 = 1.091 V

V_b = 1 V

出量

V_ab = 90.91 mV

答案

V_ab = 90.91 mV

线性估计 V_s·ΔR/(4R) = 100 mV 偏高 10 %：1/4 桥并不完全是线性的。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: ε = 800 µε

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 0.56/350 = 0.0016

应变

ε = 0.0016/2 = 0.0008 = 800 µε

答案

ε = 800 µε

3.数据采集与采样

答案: R_B = 800 B/s

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 T_b = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = f_clk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

每帧位数

1 + 8 + 1 + 2 = 12

字节速率

9600/12 = 800 B/s

答案

R_B = 800 B/s

4.数据采集与采样

答案: f_max = 1440 Hz

线路上每个采样点的位数

2·10 = 20 bit

最高采样率

f_s,max = 57600/20 = 2880 Hz

奈奎斯特极限

f_max = 2880/2 = 1440 Hz

答案

f_max = 1440 Hz

5.运放电路

答案: V_out = 7.015 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 5·4.7/(2 + 4.7) = 3.507 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 3.507·(1 + 2/2) = 7.015 V

答案

V_out = 7.015 V

6.运放电路

答案: t = 51.27 ms

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 47 kΩ · 0.1 µF = 4.7 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−1.1)/4.7 = 0.234 V/ms

达到饱和的时间

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 12·4.7/1.1 = 51.27 ms

答案

t = 51.27 ms

7.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.737 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 10 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 6·16/(6+16) = 4.364 Ω

R_eq = R₁ + 4.364 = 6 + 4.364 = 10.36 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/10.36 = 1.737 A

答案

I_R1 = 1.737 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 9.458 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 12 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 9.333 Ω

R₃ + 9.333 = 29.33 Ω

R₂ ∥ 29.33 = 7.458 Ω

R_eq = R₁ + 7.458 = 2 + 7.458 = 9.458 Ω

答案

R_eq = 9.458 Ω

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 10.29 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 15 = 16.71 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·3/(4+3) = 10.29 V

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 5.521 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 5 = 6.765 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 21.18 + (−5)·1.765 = 12.35 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12.35 + (−5)·5 = −12.65 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −12.65/(6.765 + 4) = −1.175 A

P_L = I_L²·R_L = −1.175²·4 = 5.521 W

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测量与仪器仪表：速成包

1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

方法

数据采集与采样

方法

运放电路

串并联电阻

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

节点电压

出量

答案

电阻相对变化

应变

答案

每帧位数

字节速率

答案

线路上每个采样点的位数

最高采样率

奈奎斯特极限

答案

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流和斜坡速率

达到饱和的时间

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th