测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−12 V150 Ω150 Ω + ΔR150 Ω150 Ωab+−117.7 mV

某电桥的四个臂均为 150 Ω，由 12 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 Vab = 117.7 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

Vs = 12 VR = 150 ΩVab = 117.7 mV
ΔR = Ω
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−2 mV

某构件（E = 210 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 5 V。输出读数为 2 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 5 VGF = 2Vo = 2 mVE = 210 GPa
σ = MPa
3.数据采集与采样中等
Vin​N = ?5 V2ᴺ − 10≤ 0.2 mV

一个输入量程为 0 到 5 V 的 ADC 必须分辨 0.2 mV 或更小的台阶。求最小位数 N。

VFSR = 5 V分辨率 = 0.2 mV
N =
4.数据采集与采样困难
126⋮6 ch∿01tc​ = 8 µstset​ = 5 µsfs​ = ?

一个 6 通道的多路复用器为一个 ADC 供给信号。每次转换需要 8 µs，每次切换通道后输入还需要 5 µs 建立。各通道不间断地依次扫描。求每个通道的采样率 fs，单位 kHz。

n = 6tc = 8 µstset = 5 µs
fs = kHz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 2 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = −2 VRa​ = 2 kΩRb​ = 2 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = −2 VRa = 2 kΩRb = 2 kΩR1 = 2 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩV1​ = −1.3 VR1​ = 2 kΩV2​ = 1 VR2​ = 100 kΩ

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。 求输出电压 Vout。

V1 = −1.3 VV2 = 1 VR1 = 2 kΩR2 = 100 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
8.串并联电阻困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩIR2​AR4​5 ΩBR6​5 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 ΩR5 = 8 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAIs​0.5 ABRL​4 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 4 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 6 VIs = 0.5 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩRL = 4 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 6 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 6 + 0.1177 = 6.118 V

解分压公式

R₂ = 150·6.118/(12 − 6.118) = 156 Ω
ΔR = 156 − 150 = 6 Ω

答案

ΔR = 6 Ω
2.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 168 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.002/(5·2) = 0.0008

应力

σ = 210·10³ MPa·0.0008 = 168 MPa

答案

σ = 168 MPa
3.数据采集与采样

答案: N = 15

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

5000 mV/0.2 mV = 25000

位数

log₂(25000) = 14.61
214 = 16384 < 25000 ≤ 215 = 32768
N = 15

答案

N = 15
4.数据采集与采样

答案: fs = 12.82 kHz

数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个通道的时间

8 + 5 = 13 µs

每次扫描的时间

6·13 = 78 µs

每个通道的采样率

fs = 1/78 µs = 12.82 kHz

答案

fs = 12.82 kHz
5.运放电路

答案: Vout = −2 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −2·2/(2 + 2) = −1 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −1·(1 + 2/2) = −2 V

答案

Vout = −2 V
6.运放电路

答案: Vout = 3.008 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I1 = V1/R1 = −1.3/2 = −0.65 mA
I2 = V2/R2 = 1/100 = 0.01 mA
If = I1 + I2 = −0.64 mA

输出电压

Vout = −Rf·If = −4.7·(−0.64) = 3.008 V

答案

Vout = 3.008 V
7.串并联电阻

答案: Req = 23.2 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 12 + 4 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 4·16/(4+16) = 3.2 Ω
Req = R1 + 3.2 = 20 + 3.2 = 23.2 Ω

答案

Req = 23.2 Ω
8.串并联电阻

答案: IR2 = 0.6965 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​5 ΩBR6​5 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 8 + 5 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 3.611 Ω
R3 + 3.611 = 15.61 Ω
R2 ∥ 15.61 = 3.787 Ω
Req = R1 + 3.787 = 6 + 3.787 = 9.787 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/9.787 = 0.9196 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.9196·6 = 3.483 V
IR2 = VA/R2 = 3.483/5 = 0.6965 A

答案

IR2 = 0.6965 A
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.24 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·15/(5+15) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 15 = 18.75 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·15/(5+15) = 4.5 V
IN​0.24 ARth​18.75 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 4.5/18.75 = 0.24 A
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 1.841 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 5 = 8.529 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.235 + 0.5·3.529 = 6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6 + 0.5·5 = 8.5 V
Rth​ = 8.529 Ω+−Vth​8.5 VRL​4 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 8.5/(8.529 + 4) = 0.6784 A
PL = IL²·RL = 0.6784²·4 = 1.841 W

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