测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−5 V500 Ω500 Ω + ΔR500 Ω500 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 500 Ω，Vs = 5 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 50 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 5 VR = 500 ΩΔR = 50 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−5 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−3 mV

某构件（E = 210 GPa）上的应变片（GF = 2）接成 1/4 桥，激励电压为 5 V。输出读数为 3 mV。求轴向应力 σ，单位为 MPa。

Vs = 5 VGF = 2Vo = 3 mVE = 210 GPa
σ = MPa
3.数据采集与采样中等
Vin​N = ?10 V2ᴺ − 10≤ 0.5 mV

一个输入量程为 0 到 10 V 的 ADC 必须分辨 0.5 mV 或更小的台阶。求最小位数 N。

VFSR = 10 V分辨率 = 0.5 mV
N =
4.数据采集与采样困难
f0fs​/2fs​2fs​3fs​450 Hz7f₁?

一个 450 Hz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 1 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 7f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。

f₁ = 450 Hzfs = 1 kHz谐波: 7f₁
fa = Hz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 4.7 kΩVin​

选择反馈电阻 Rf，使该同相放大器的电压增益为 5。

R1 = 4.7 kΩAv = 5
Rf = kΩ
6.运放电路困难
−+Vout​R2​ = 100 kΩV1​ = 1.2 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1.7 VR3​ = 1 kΩR4​ = 4.7 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 电阻比不匹配。求输出电压 Vout。

V1 = 1.2 VV2 = 1.7 VR1 = 10 kΩR2 = 100 kΩR3 = 1 kΩR4 = 4.7 kΩ
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBR6​10 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 3 ΩR5 = 15 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAIs​5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 18 VIs = 5 AR1 = 10 ΩR2 = 30 ΩR3 = 3 Ω
IN = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 119 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 5·550/1050 = 2.619 V
Vb = 2.5 V

出量

Vab = 119 mV

答案

Vab = 119 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 125 mV 偏高 5 %：1/4 桥并不完全是线性的。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: σ = 252 MPa

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

应变

ε = 4·0.003/(5·2) = 0.0012

应力

σ = 210·10³ MPa·0.0012 = 252 MPa

答案

σ = 252 MPa
3.数据采集与采样

答案: N = 15

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

10000 mV/0.5 mV = 20000

位数

log₂(20000) = 14.29
214 = 16384 < 20000 ≤ 215 = 32768
N = 15

答案

N = 15
4.数据采集与采样

答案: fa = 150 Hz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

谐波频率

7f₁ = 7·450 Hz = 3.15 kHz

最接近的采样率整数倍

m = round(3.15) = 3

混叠频率

fa = |3150 − 3·1000| = 150 Hz

答案

fa = 150 Hz

混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。

5.运放电路

答案: Rf = 18.8 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = Vin，且流过 R₁ 的电流也流过 Rf，所以 Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (5 − 1)·4.7 = 18.8 kΩ

答案

Rf = 18.8 kΩ
6.运放电路

答案: Vout = 3.419 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.7·4.7/(1 + 4.7) = 1.402 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

Vout = −(100/10)·1.2 + (1 + 100/10)·1.402 = −12 + 15.42 = 3.419 V

答案

Vout = 3.419 V
7.串并联电阻

答案: IR1 = 2.786 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 6 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω
Req = R1 + 2.308 = 2 + 2.308 = 4.308 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/4.308 = 2.786 A

答案

IR1 = 2.786 A
8.串并联电阻

答案: IR1 = 0.3092 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 30 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 15 + 10 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 2.679 Ω
R3 + 2.679 = 10.68 Ω
R2 ∥ 10.68 = 2.342 Ω
Req = R1 + 2.342 = 30 + 2.342 = 32.34 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/32.34 = 0.3092 A

答案

IR1 = 0.3092 A
9.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.7895 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​8 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.444 + 4 = 8.444 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·8/(10+8) = 6.667 V
IN​0.7895 ARth​8.444 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 6.667/8.444 = 0.7895 A
10.戴维南和诺顿

答案: IN = 6.286 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·30/(10+30) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 3 = 10.5 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13.5 + 5·7.5 = 51 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 51 + 5·3 = 66 V
IN​6.286 ARth​10.5 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 66/10.5 = 6.286 A

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