测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−3 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vab​ = ?

某电桥的四个臂均为 1000 Ω，Vs = 3 V。传感器 R₂ 增大了 ΔR = 250 Ω。求精确输出 Vab，单位为 mV。

Vs = 3 VR = 1000 ΩΔR = 250 Ω
Vab = mV
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−12 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

某称重传感器（应变片全桥）在额定载荷 200 kg 时的额定输出为 1 mV/V。激励电压为 12 V。求它在 120 kg 载荷下的输出 Vo。

1 mV/VFrated = 200 kgVs = 12 VF = 120 kg
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
tTs​ = 1/fs​f = 13 kHzfs​ = 20 kHz

一个 13 kHz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 20 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 fa？以 kHz 给出。

f = 13 kHzfs = 20 kHz
fa = kHz
4.数据采集与采样困难
T10 mV/°C×2∿01N = 12, 10 V? °C/LSB

一个温度传感器给出 10 mV/°C（0 °C 时为 0 V）。其信号被放大 2 倍后送入量程为 0 到 10 V 的 12 位 ADC（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。求对应一个 LSB 的温度变化 ΔTLSB。

S = 10 mV/°CG = 2N = 12VFSR = 10 V
ΔTLSB = °C
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = 1.7 V

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。 求输出电压 Vout。

Vin = 1.7 VR1 = 2 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
6.运放电路困难
−+Vout​C = 0.22 µFVin​ = −0.2 VR = 4.7 kΩ

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 Vin = −0.2 V 时，电容未充电。 求 t = 5 ms 时的输出电压 Vout。

Vin = −0.2 VR = 4.7 kΩC = 0.22 µFVsat = ±14 Vt = 5 ms
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩIR2​AR4​6 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​5 ΩBR6​10 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 ΩR5 = 4 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 Ω
Rth = Ω
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​6 ABRL​15 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 5 VIs = 6 AR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩRL = 15 Ω
IL = A

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Vab = 166.7 mV

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

节点电压

Va = 3·1250/2250 = 1.667 V
Vb = 1.5 V

出量

Vab = 166.7 mV

答案

Vab = 166.7 mV

线性估计 Vs·ΔR/(4R) = 187.5 mV 偏高 12.5 %：1/4 桥并不完全是线性的。

2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 7.2 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程输出

1·12 = 12 mV

该载荷下的输出

Vo = 12·120/200 = 7.2 mV

答案

Vo = 7.2 mV
3.数据采集与采样

答案: fa = 7 kHz

采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。

奈奎斯特频率

fs/2 = 10 kHz < f = 13 kHz

最接近的采样率整数倍

k = round(13/20) = 1

混叠频率

fa = |13 − 1·20| = 7 kHz

答案

fa = 7 kHz

图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。

4.数据采集与采样

答案: ΔTLSB = 0.1221 °C

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 10000/4096 = 2.441 mV

ADC 处的灵敏度

10·2 = 20 mV/°C

温度分辨率

ΔTLSB = 2.441/20 = 0.1221 °C

答案

ΔTLSB = 0.1221 °C

ADC 在 500 °C 时达到满量程。

5.运放电路

答案: Vout = 5.695 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 1.7 V
I = V₋/R1 = 1.7/2 = 0.85 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 Rf。

Vout = V₋ + I·Rf = 1.7 + 0.85·4.7 = 5.695 V

答案

Vout = 5.695 V
6.运放电路

答案: Vout = 0.9671 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 4.7 kΩ · 0.22 µF = 1.034 ms
斜坡速率 = −Vin/(RC) = −(−0.2)/1.034 = 0.1934 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±Vsat 以内，所以积分器尚未限幅。

Vout = −Vin·t/(RC) = −(−0.2)·5/1.034 = 0.9671 V

答案

Vout = 0.9671 V
7.串并联电阻

答案: IR2 = 0.5455 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​6 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 2 + 6 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 4·8/(4+8) = 2.667 Ω
Req = R1 + 2.667 = 12 + 2.667 = 14.67 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/14.67 = 0.8182 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.8182·12 = 2.182 V
IR2 = VA/R2 = 2.182/4 = 0.5455 A

答案

IR2 = 0.5455 A
8.串并联电阻

答案: Req = 8.518 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​5 ΩBR6​10 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 4 + 10 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 3.684 Ω
R3 + 3.684 = 15.68 Ω
R2 ∥ 15.68 = 2.518 Ω
Req = R1 + 2.518 = 6 + 2.518 = 8.518 Ω

答案

Req = 8.518 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: Rth = 4.5 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·15/(3+15) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 2 = 4.5 Ω
10.戴维南和诺顿

答案: IL = 3.471 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.8 + 15 = 19.8 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​5 VR2​8 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2 + 6·4.8 = 30.8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30.8 + 6·15 = 120.8 V
Rth​ = 19.8 Ω+−Vth​120.8 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 120.8/(19.8 + 15) = 3.471 A

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