测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
出量: V_ab = V_a − V_b
平衡: R₁/R₂ = R₃/R₄
滑线电桥: R/R_x = l/(100 − l)
戴维南电阻: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
灵敏系数: ΔR/R = GF·ε
电桥输出: 1/4 桥 V_s·GF·ε/4，半桥 V_s·GF·ε/2，全桥 V_s·GF·ε
小变化，一个臂: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
应力: σ = E·ε

方法

把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
对不平衡电桥，由分压器求出 V_a 和 V_b 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 V_s·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等

某电桥的四个臂均为 300 Ω，由 9 V 供电。当传感器 R₂ 变化时，输出读数为 V_ab = 88.24 mV。求 R₂ 的精确变化量 ΔR。

V_s = 9 VR = 300 ΩV_ab = 88.24 mV

ΔR = Ω

2.惠斯通电桥与应变片困难

某 1/4 桥（一个工作应变片，GF = 2.05）的激励电压为 2.5 V。要测量的最大应变为 250 µε，它在模数转换器输入端必须给出 5 V。求放大器增益 G。

V_s = 2.5 VGF = 2.05ε_max = 250 µεV_FS = 5 V

G =

3.数据采集与采样中等

一条 UART 以 19200 波特、8N1 格式发送字节：8 个数据位、无校验和 1 个停止位，外加起始位。求它每秒最多能传输多少个数据字节。

baud = 19200 Bd8N1

R_B = B/s

4.数据采集与采样困难

一个 24 位 ADC 通过 UART 以 9600 波特、8N1 格式（起始位、8 个数据位、1 个停止位）发送每个采样点。每个采样点以 3 个整字节发送，且链路一直处于忙碌状态。求能无混叠采样的最高信号频率 f_max，单位 Hz。

baud = 9600 BdN = 248N1

f_max = Hz

5.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.8 VR₁ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

6.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.8 VV₂ = −0.2 VR₁ = 2 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

7.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

8.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VI_s = 4 AR₁ = 3 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: ΔR = 12 Ω

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 V_s。左侧分压器 R₁–R₂ 给出 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)，右侧分压器 R₃–R₄ 给出 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)；输出为 V_ab = V_a − V_b。当 R₁/R₂ = R₃/R₄，即 R₁·R₄ = R₂·R₃ 时，电桥平衡（V_ab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄。

节点电压

V_a = 4.5 + 0.08824 = 4.588 V

解分压公式

R₂ = 300·4.588/(9 − 4.588) = 312 Ω

ΔR = 312 − 300 = 12 Ω

答案

ΔR = 12 Ω

2.惠斯通电桥与应变片

答案: G = 15610

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 V_o ≈ V_s·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 V_s·GF·ε/2，四个（全桥）给出 V_s·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

满量程时的电桥输出

V_o = 0.3203 mV

增益

G = 5/0.0003203 = 15610

答案

G = 15610

3.数据采集与采样

答案: R_B = 1920 B/s

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 T_b = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = f_clk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

每帧位数

1 + 8 + 0 + 1 = 10

字节速率

19200/10 = 1920 B/s

答案

R_B = 1920 B/s

4.数据采集与采样

答案: f_max = 160 Hz

线路上每个采样点的位数

3·10 = 30 bit

最高采样率

f_s,max = 9600/30 = 320 Hz

奈奎斯特极限

f_max = 320/2 = 160 Hz

答案

f_max = 160 Hz

5.运放电路

答案: V_out = 4.545 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.8 V

I = V₋/R₁ = 0.8/4.7 = 0.1702 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.8 + 0.1702·22 = 4.545 V

答案

V_out = 4.545 V

6.运放电路

答案: V_out = 4.273 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −1.8/2 = −0.9 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.2/22 = −0.009091 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.9091 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·(−0.9091) = 4.273 V

答案

V_out = 4.273 V

7.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.746 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 3·19/(3+19) = 2.591 Ω

R_eq = R₁ + 2.591 = 6 + 2.591 = 8.591 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8.591 = 1.746 A

答案

I_R1 = 1.746 A

8.串并联电阻

答案: R_eq = 16.63 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 10 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 8.553 Ω

R₃ + 8.553 = 38.55 Ω

R₂ ∥ 38.55 = 6.625 Ω

R_eq = R₁ + 6.625 = 10 + 6.625 = 16.63 Ω

答案

R_eq = 16.63 Ω

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 8.667 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.667 + 2 = 8.667 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 43.09 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·30/(3+30) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 6 = 8.727 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8.182 + 4·2.727 = 19.09 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 19.09 + 4·6 = 43.09 V

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测量与仪器仪表：速成包

1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

方法

数据采集与采样

方法

运放电路

串并联电阻

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

节点电压

解分压公式

答案

满量程时的电桥输出

增益

答案

每帧位数

字节速率

答案

线路上每个采样点的位数

最高采样率

奈奎斯特极限

答案

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th