测量与仪器仪表：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

惠斯通电桥与应变片

分压器电压
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
出量
Vab = Va − Vb
平衡
R1/R2 = R3/R4
滑线电桥
R/Rx = l/(100 − l)
戴维南电阻
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
灵敏系数
ΔR/R = GF·ε
电桥输出
1/4 桥 Vs·GF·ε/4，半桥 Vs·GF·ε/2，全桥 Vs·GF·ε
小变化，一个臂
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
应力
σ = E·ε

方法

  1. 把电桥看作接在同一电源上的两个分压器。
  2. 要使电桥平衡，令 R₁/R₂ = R₃/R₄，并解出未知电阻。
  3. 对不平衡电桥，由分压器求出 Va 和 Vb 再相减；当仪表对输出端有负载时，用戴维南等效电路。
  4. 对应变片，把应变换算成 ΔR/R = GF·ε，再用 Vs·GF·ε/4、/2 或 ×1 分别对应 1/4 桥、半桥或全桥。

数据采集与采样

奈奎斯特准则
fs > 2·fmax, fN = fs/2
混叠频率
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
步长
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）
±½ LSB
截断式 ADC 码值
D = ⌊Vin/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率
通道数 × fs × N 比特/秒
多路复用 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器
baud = fclk/(16·D)

方法

  1. 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
  2. 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
  3. 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
  4. 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

运放电路

反相放大器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
同相放大器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加法放大器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想运放
V+ = V−, Iin = 0

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.惠斯通电桥与应变片中等
+−10 V1000 Ω1000 Ω1000 Ω1000 Ωab+−

一个 1000 Ω 的应变片是电桥的一个臂（R₂），电桥四个臂均为 1000 Ω，激励电压为 10 V。求应变片上消耗的功率 Pg，单位为 mW。自热限制了激励电压。

Vs = 10 VR = 1000 Ω
Pg = mW
2.惠斯通电桥与应变片困难
+−3 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

某电桥的各臂为 120 Ω，激励电压为 3 V，采用 相邻臂上的两个工作应变片，一个受拉、一个受压（半桥）。灵敏系数为 2.12，应变为 250 µε。求电桥输出 Vo，单位为 mV。

Vs = 3 VGF = 2.12ε = 250 µε
Vo = mV
3.数据采集与采样中等
Vin​N = ?5 V2ᴺ − 10≤ 10 mV

一个输入量程为 0 到 5 V 的 ADC 必须分辨 10 mV 或更小的台阶。求最小位数 N。

VFSR = 5 V分辨率 = 10 mV
N =
4.数据采集与采样困难
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​57600 Bd, 8N1

一个 24 位 ADC 通过 UART 以 57600 波特、8N1 格式（起始位、8 个数据位、1 个停止位）发送每个采样点。每个采样点以 3 个整字节发送，且链路一直处于忙碌状态。求能无混叠采样的最高信号频率 fmax，单位 Hz。

baud = 57600 BdN = 248N1
fmax = Hz
5.运放电路中等
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩVin​R1​ = 1 kΩ

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±13 V。 反相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 Vin,max（峰值）。

R1 = 1 kΩRf = 4.7 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
6.运放电路困难
−+Vout​C = 4.7 µFVin​ = 0.7 VR = 22 kΩ

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 Vin = 0.7 V 时，电容未充电。 求 t = 200 ms 时的输出电压 Vout。

Vin = 0.7 VR = 22 kΩC = 4.7 µFVsat = ±13 Vt = 200 ms
Vout = V
7.串并联电阻中等
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
8.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​15 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 36 VR1 = 10 ΩR2 = 30 ΩR3 = 30 ΩR4 = 12 ΩR5 = 3 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
9.戴维南和诺顿中等
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩARL​15 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩRL = 15 Ω
IL = A
10.戴维南和诺顿困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAIs​1.5 ABRL​5 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 5 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 24 VIs = 1.5 AR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩRL = 5 Ω
PL = W

3溶液

1.惠斯通电桥与应变片

答案: Pg = 25 mW

惠斯通电桥：两个分压器共用一个电源 Vs。左侧分压器 R1–R2 给出 Va = Vs·R2/(R1 + R2)，右侧分压器 R3–R4 给出 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)；输出为 Vab = Va − Vb。当 R1/R2 = R3/R4，即 R1·R4 = R2·R3 时，电桥平衡（Vab = 0，检流计中没有电流）。从输出端看，电桥是一个戴维南电源，其 Rth = R1∥R2 + R3∥R4。

应变片两端的电压

V = 10/2 = 5 V

功率

Pg = 5²/1000 = 25 mW

答案

Pg = 25 mW
2.惠斯通电桥与应变片

答案: Vo = 0.795 mV

应变片：应变片的电阻随应变变化：ΔR/R = GF·ε，其中金属箔的灵敏系数 GF 约为 2。在各臂都等于 R 的电桥中，一个工作应变片（1/4 桥）给出 Vo ≈ Vs·GF·ε/4。相邻臂上两个应变相反的工作应变片（半桥）给出 Vs·GF·ε/2，四个（全桥）给出 Vs·GF·ε。应力由胡克定律得出，σ = E·ε。称重传感器的灵敏度以 mV/V 表示：每伏激励电压在满载时的输出。

电阻相对变化

ΔR/R = 2.12·250·10⁻⁶ = 0.00053

电桥输出

Vo = Vs·GF·ε/2 = 3·0.00053/2 = 0.795 mV

答案

Vo = 0.795 mV
3.数据采集与采样

答案: N = 9

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

5000 mV/10 mV = 500

位数

log₂(500) = 8.966
28 = 256 < 500 ≤ 29 = 512
N = 9

答案

N = 9
4.数据采集与采样

答案: fmax = 960 Hz

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

线路上每个采样点的位数

3·10 = 30 bit

最高采样率

fs,max = 57600/30 = 1920 Hz

奈奎斯特极限

fmax = 1920/2 = 960 Hz

答案

fmax = 960 Hz
5.运放电路

答案: Vin,max = 2.766 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

|Av| = Rf/R1 = 4.7/1 = 4.7

削波前的最大输入

Vin,max = Vsat/|Av| = 13/4.7 = 2.766 V

答案

Vin,max = 2.766 V
6.运放电路

答案: Vout = −1.354 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 22 kΩ · 4.7 µF = 103.4 ms
斜坡速率 = −Vin/(RC) = −0.7/103.4 = −0.00677 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±Vsat 以内，所以积分器尚未限幅。

Vout = −Vin·t/(RC) = −0.7·200/103.4 = −1.354 V

答案

Vout = −1.354 V
7.串并联电阻

答案: IR1 = 0.4364 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 2 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 5·7/(5+7) = 2.917 Ω
Req = R1 + 2.917 = 20 + 2.917 = 22.92 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 10/22.92 = 0.4364 A

答案

IR1 = 0.4364 A
8.串并联电阻

答案: Req = 26.61 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​15 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 15 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 7.2 Ω
R3 + 7.2 = 37.2 Ω
R2 ∥ 37.2 = 16.61 Ω
Req = R1 + 16.61 = 10 + 16.61 = 26.61 Ω

答案

Req = 26.61 Ω
9.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.2553 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 6 = 8.5 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(5+5) = 6 V
Rth​ = 8.5 Ω+−Vth​6 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 6/(8.5 + 15) = 0.2553 A
10.戴维南和诺顿

答案: PL = 15.19 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​20 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·20/(15+20) = 8.571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.571 + 12 = 20.57 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13.71 + 1.5·8.571 = 26.57 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 26.57 + 1.5·12 = 44.57 V
Rth​ = 20.57 Ω+−Vth​44.57 VRL​5 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 44.57/(20.57 + 5) = 1.743 A
PL = IL²·RL = 1.743²·5 = 15.19 W

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