轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 400 mm，在刚性板之间被 250 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 250 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 65 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 40 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 5.77°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 40 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 5.77°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心铝轴在 300 rpm 下传递 50 kW。切应力不得超过 50 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.5°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
45 kN @ 2 m15 kN/m, 2–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 5 mw = 20 kN/m，从 1 到 3 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 210 mm、厚 18 mm，总高度 440 mm，腹板厚 12 mm。 求其对水平形心轴 x 的惯性矩 Ix。
B = 210 mmH = 440 mmtf = 18 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 240 mmM = 20 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 110 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 110 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 120 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = 120 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 20 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 4 mP = 40 kN 位于 2 m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.2158 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·4006 = 4.634 × 10⁸ N
缩短量
δ = 250000·400/4.634 × 10⁸ = 0.2158 mm
答案
δ = 0.2158 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 323.3 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 51.73 MPa
σ2 = 323.3 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 323.3 MPa
答案
σmax = 323.3 MPa
3.轴的扭转
答案: G = 39.02 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 5.77·π/180 = 0.1007 rad
剪切模量
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·200/(2036·0.1007) = 39022 MPa
G = 39.02 GPa
答案
G = 39.02 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 91.94 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m
按强度求直径
T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·50)) = 54.53 mm
按刚度求直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·1.592 × 10⁶/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 91.94 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(54.53, 91.94) = 91.94 mm
答案
d = 91.94 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: C (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 45 kN, R2 = 30 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 45, MC = 90 kN·m, MD = 82.5, ME = 60, MF = 30, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 90 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 38.4 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·2·2
RB = 80/5 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 16 = 24 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 24/20 = 2.2 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 24·2.2 − 20·1.2²/2 = 38.4 kN·m
答案
Mmax = 38.4 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 402.7 × 10⁶ mm⁴
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 440 − 2·18 = 404 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·440³ − 198·404³)/12
Ix = 4.027 × 10⁸ mm⁴ = 402.7 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 402.7 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 42.65 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 140·15 = 2100 mm², yf = 240 + 15/2 = 247.5 mm
腹板: Aw = 18·240 = 4320 mm², yw = 240/2 = 120 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2100·247.5 + 4320·120)/6420 = 161.7 mm
平行移轴定理
翼缘: 140·15³/12 + 2100·(247.5 − 161.7)² = 1.55 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·240³/12 + 4320·(120 − 161.7)² = 2.825 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.55 × 10⁷ + 2.825 × 10⁷ = 4.375 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 255 − 161.7 = 93.29 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·93.29/4.375 × 10⁷ = 42.65 MPa
答案
σ顶部 = 42.65 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 12.39 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, 110 − −20) = 24.78°
单元体上的角度
θp = 12.39°
答案
θp = 12.39°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = 60 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −60·−1 + −30·0 = 60 MPa
答案
τθ = 60 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 5.104 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 20000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1500²·3500²/(3·7.2 × 10¹²·5000) = 5.104 mm
答案
δP = 5.104 mm
12.梁的挠度
答案: MA = 30 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·40/16 = 12.5 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = P·L/2 − RB·L = 80 − 50 = 30 kN·m
答案
MA = 30 kN·m
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 32.9 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/2500² = 32899 N = 32.9 kN
答案
Pcr = 32.9 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 15.67 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/20 = 210
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15.67 MPa
答案
σcr = 15.67 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials