材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
Ø 20 mm钢1 mP = 60 kN

求钢杆在轴向荷载下的伸长量 δ。

P = 60 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
Ø 35 mm钢0.5 mØ 16 mm黄铜1.5 mP = 10 kN

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。

P = 10 kN第 1 段：Ø35 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
do​ = ?T = 1500 N·m

一根空心轴须承受 1500 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.8 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。

T = 1500 N·mdi/do = 0.8τallow = 60 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
d = ?30 kW, 300 rpm

一根实心钢轴在 300 rpm 下传递 30 kW。切应力不得超过 75 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
M0​ = 20 kN·mAB2.5 m1.5 m

简支梁在距 A 为 x = 2.5 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 20 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mM0 = 20 kN·m 顺时针，作用于 2.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 5 kN/mABC5 m1 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 xc。

L = 6 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
xc = m
7.形心和惯性矩中等
xD = 100d = 92尺寸单位为 mm

圆管外径 D = 100 mm，内径 d = 92 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 100 mmd = 92 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
120 mm300 mm210 mm60 × 20xIx​ = ?

一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 60 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 120 mmh = 300 mm切口: 60 × 20 mm孔心: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = −10σy​ = 30τxy​ = −40MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −10 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −40 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。

σx = −10 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = −50σy​ = −70τxy​ = 10MPa

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −50 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（σz = 0）。 求冯·米塞斯等效应力 σvM。

σx = −50 MPaσy = −70 MPaτxy = 10 MPa
σvM = MPa
11.梁的挠度中等
P = 11 kNABδ1.5 m3.5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 11 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
w = 2 kN/mABδ3.5 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。

w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
PL = 2.5 md = 40 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
P = 25 kNL = 4 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 25 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 25 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (铝)
d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.9549 mm

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 60·1000/314.2 = 191 MPa

应变（胡克定律）

E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 191/200000 = 0.0009549 = 954.9 µε

伸长量

δ = ε·L = 0.0009549·1000 mm = 0.9549 mm

答案

δ = 0.9549 mm
2.轴向应力与应变

答案: σmax = 49.74 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 10.39 MPa
σ2 = 49.74 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σmax = 49.74 MPa

答案

σmax = 49.74 MPa
3.轴的扭转

答案: do = 59.97 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

由容许应力求外径

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·60·0.5904)) = 59.97 mm
di = 0.8·59.97 = 47.97 mm

答案

do = 59.97 mm

实心轴需要 d = 50.31 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

4.轴的扭转

答案: d = 72.66 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

按强度求直径

T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40.18 mm

按刚度求直径

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·954930/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 72.66 mm

控制直径

两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。

d = max(40.18, 72.66) = 72.66 mm

答案

d = 72.66 mm

这里由刚度控制。

5.剪力和弯矩

答案: Mx = −12.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 20/4 = 5 kN (向上)
RA = −RB = −5 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 RA。

Mx = RA·a = −5·2.5 = −12.5 kN·m

答案

Mx = −12.5 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: xc = 4.8 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·6·3
RB = 90/5 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 18 = 12 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = RA·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2RA/w 处为零。

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·12/5 = 4.8 m

答案

xc = 4.8 m
7.形心和惯性矩

答案: r = 33.97 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 1206 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.392 × 10⁶ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(1.392 × 10⁶/1206) = 33.97 mm

答案

r = 33.97 mm
8.形心和惯性矩

答案: Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·150 − 1200·210)/(36000 − 1200) = 147.9 mm

完整的板关于 ȳ

120·300³/12 + 36000·2.069² = 270.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·20³/12 + 1200·62.07² = 4.663 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换

答案: τabs = 44.72 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

στxyCσ1​σ2​

面内主应力

C = 10 MPa, R = √((−20)² + (−40)²) = 44.72 MPa
σ1 = 54.72 MPa, σ2 = −34.72 MPa, σz = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(89.44, 54.72, 34.72)/2 = 44.72 MPa

答案

τabs = 44.72 MPa

这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σvM = 64.81 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。

σxyCσ1​σ2​

主应力

C = −60 MPa, R = 14.14 MPa
σ1 = −45.86 MPa, σ2 = −74.14 MPa, σ3 = 0

冯·米塞斯

σvM = √((−45.86)² − (−45.86)·(−74.14) + (−74.14)²) = 64.81 MPa

答案

σvM = 64.81 MPa
11.梁的挠度

答案: δP = 4.394 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 11000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·1500²·3500²/(3·4.6 × 10¹²·5000) = 4.394 mm

答案

δP = 4.394 mm
12.梁的挠度

答案: hreq = 163.7 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·9.722) = 3.654 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·3.654 × 10⁷/100)1/3 = 163.7 mm

答案

hreq = 163.7 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

13.柱的屈曲

答案: Pcr = 28.35 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1750² = 28349 N = 28.35 kN

答案

Pcr = 28.35 kN
14.柱的屈曲

答案: d = 64.53 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 64.53 mm

答案

d = 64.53 mm

校核：长细比 KL/r 为 173.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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