材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 60 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 600 mm，在刚性板之间被 150 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 150 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 120 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø20 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 750 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 80 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 500 rpm 下传递 30 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 7.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 8 kN/m，从 0 到 8 mx = 7.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mw = 20 kN/m，从 1 到 3 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 40 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 30 MPa，σ_z = 0。求该点的绝对最大切应力 τ_abs（考虑三维中所有平面）。

σ_x = 40 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 70 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = 10 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 14 kNa = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 4 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 90 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 90 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.09879 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N

缩短量

δ = 150000·600/9.111 × 10⁸ = 0.09879 mm

答案

δ = 0.09879 mm

2.轴向应力与应变

答案: δ = 5.63 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 169.8 MPa

σ₂ = 382 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 169.8·2000/117000 = 2.902 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·500/70000 = 2.728 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.63 mm

答案

δ = 5.63 mm

3.轴的扭转

答案: φ = 16.81 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(80000·38350) = 0.2934 rad

φ = 0.2934·180/π = 16.81°

答案

φ = 16.81°

4.轴的扭转

答案: τ_max = 15.52 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m

极惯性矩

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·30/1.107 × 10⁶ = 15.52 MPa

答案

τ_max = 15.52 MPa

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −28 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

在 x = 7.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 32 − 8·7.5 = −28 kN

答案

V_x = −28 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 30 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 20/20 = 2 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 20·2 − 20·1²/2 = 30 kN·m

答案

M_max = 30 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (45000·150 − 1963·210)/(45000 − 1963) = 147.3 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·2.737² = 337.8 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·62.74² = 8.035 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 63.81 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

腹板: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·210 + 2400·100)/7600 = 175.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·20³/12 + 5200·(210 − 175.3)² = 6.448 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·200³/12 + 2400·(100 − 175.3)² = 2.159 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.448 × 10⁶ + 2.159 × 10⁷ = 2.804 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 220 − 175.3 = 44.74 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·44.74/2.804 × 10⁷ = 63.81 MPa

答案

σ_顶部 = 63.81 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_abs = 44.27 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σ_max − σ_min)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

面内主应力

C = 55 MPa, R = √((−15)² + 30²) = 33.54 MPa

σ₁ = 88.54 MPa, σ₂ = 21.46 MPa, σ_z = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(67.08, 88.54, 21.46)/2 = 44.27 MPa

答案

τ_abs = 44.27 MPa

这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 85.72 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

变换公式

σ_θ = 75 + −5·−0.1736 + 10·0.9848 = 85.72 MPa

答案

σ_θ = 85.72 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 19.09 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 14000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·2000²·3000²/(3·1.76 × 10¹²·5000) = 19.09 mm

答案

δ_P = 19.09 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 872.7 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·8000⁴/(384·11000·22.22) = 8.727 × 10⁸ mm⁴

I_req = 872.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 872.7 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 3.473 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1250² = 3473 N = 3.473 kN

答案

P_cr = 3.473 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 92 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 92 mm

答案

d = 92 mm

校核：长细比 KL/r 为 130.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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