材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 300 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 45 kN第 1 段：Ø30 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根空心铝轴（外径 50 mm，内径 30 mm，长 2.5 m）一端固定，另一端受 250 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心轴需在 500 rpm 下传递 30 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 4 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 9 mw = 12 kN/m，从 0 到 9 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

x_c = m

7.形心和惯性矩中等

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 240 mm，外高 H = 350 mm，壁厚均为 t = 8 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 240 mmH = 350 mmt = 8 mm

r = mm

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 70 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = 60 MPa，σ_z = 0。求该点的绝对最大切应力 τ_abs（考虑三维中所有平面）。

σ_x = 70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 0 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = 60 MPa（σ_z = 0）。求冯·米塞斯等效应力 σ_vM。

σ_x = 0 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 20 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 12 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 105 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 38.34 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N

载荷

P = 0.2/5.217 × 10⁻⁶ = 38338 N = 38.34 kN

答案

P = 38.34 kN

2.轴向应力与应变

答案: δ = 1.711 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 63.66 MPa

σ₂ = 143.2 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63.66·2000/200000 = 0.6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143.2·1500/200000 = 1.074 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.711 mm

答案

δ = 1.711 mm

3.轴的扭转

答案: φ = 2.579 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

扭转角

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2500/(26000·534071) = 0.04501 rad

φ = 0.04501·180/π = 2.579°

答案

φ = 2.579°

4.轴的扭转

答案: d = 33.89 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·572958/(π·75)) = 33.89 mm

答案

d = 33.89 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

5.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 76 kN, R₂ = 56 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 140, M_C = 256 kN·m, M_D = 228, M_E = 176, M_F = 100, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 256 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x_c = 7.875 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·9 = 108 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·9·4.5

R_B = 486/8 = 60.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 60.75 = 47.25 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·47.25/12 = 7.875 m

答案

x_c = 7.875 m

7.形心和惯性矩

答案: r = 132.8 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 224 mm, h = 334 mm

A = BH − bh = 240·350 − 224·334 = 9184 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.62 × 10⁸ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(1.62 × 10⁸/9184) = 132.8 mm

答案

r = 132.8 mm

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 30.31 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

腹板: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·255 + 4800·120)/8400 = 177.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·30³/12 + 3600·(255 − 177.9)² = 2.169 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·240³/12 + 4800·(120 − 177.9)² = 3.911 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.169 × 10⁷ + 3.911 × 10⁷ = 6.08 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 270 − 177.9 = 92.14 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·92.14/6.08 × 10⁷ = 30.31 MPa

答案

σ_顶部 = 30.31 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_abs = 67.6 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σ_max − σ_min)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

面内主应力

C = 75 MPa, R = √((−5)² + 60²) = 60.21 MPa

σ₁ = 135.2 MPa, σ₂ = 14.79 MPa, σ_z = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120.4, 135.2, 14.79)/2 = 67.6 MPa

答案

τ_abs = 67.6 MPa

这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_vM = 125.3 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = −35 MPa, R = 69.46 MPa

σ₁ = 34.46 MPa, σ₂ = −104.5 MPa, σ₃ = 0

冯·米塞斯

σ_vM = √(34.46² − 34.46·(−104.5) + (−104.5)²) = 125.3 MPa

答案

σ_vM = 125.3 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_P = 5.051 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 20000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1000²·2000²/(3·1.76 × 10¹²·3000) = 5.051 mm

答案

δ_P = 5.051 mm

12.梁的挠度

答案: δ_max = 21.46 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 12000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2000³/(48·1.32 × 10¹¹) = 15.15 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 6.313 mm

相加

δ_max = 15.15 + 6.313 = 21.46 mm

答案

δ_max = 21.46 mm

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 5.757 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

计算长度

KL = 2·4000 = 8000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/8000² = 5757 N = 5.757 kN

答案

P_cr = 5.757 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 87.29 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 87.29 mm

答案

d = 87.29 mm

校核：长细比 KL/r 为 114.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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