材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
Ø 25 mm黄铜3 mP = 100 kN

求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 100 kNd = 25 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
50 kN12500 mm200 mmØ20Ø40σ2​ = ?

一段钢（直径 20 mm，长 500 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 40 mm，长 200 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 50 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
d = 20 mmT = 40 N·m400 mmφ = 1.5°

在扭转试验中，一根直径 20 mm 的实心试件受 40 N·m 的扭矩作用。标距 400 mm 两端的相对转角为 1.5°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 40 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1.5°
G = GPa
4.轴的扭转困难
d = 40 mmTB​ = 200 N·mTC​ = 1500 N·mABC1.5 m0.5 m

一根直径 40 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 1.5 m 的 B 处作用 200 N·m 的扭矩，再往前 0.5 m 的自由端 C 处作用一个同向的 1500 N·m 扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。

d = 40 mmTB = 200 N·mTC = 1500 N·mAB = 1.5 mBC = 0.5 m
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
w = 4 kN/mAB截面1.5 m8.5 m

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 1.5 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
w = 3 kN/mP = 75 kNAB4 m6 m

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 10 mP = 75 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
100 mm150 mm90 mmØ40xIx​ = ?

一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 90 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mm孔心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
2401520020xM = 50 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 50 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。

bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 200 mmM = 50 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = −20σy​ = 70MPaτxy​ = ?

某点 σₓ = −20 MPa、σᵧ = 70 MPa。在最大主应力达到 130 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？

σx = −20 MPaσy = 70 MPaσ1 = 130 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​τxy​轴的表面

一根直径 60 mm 的实心轴承受130 kN 的轴向拉力，同时承受 1500 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求最大主应力 σ1。

d = 60 mmF = 130 kNT = 1500 N·m
σ1 = MPa
11.梁的挠度中等
P = 6 kNABδ1.5 m1 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。

P = 6 kNa = 1.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.梁的挠度困难
w = 4 kN/mAB8 m

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。

L = 8 mw = 4 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
PL = 3 m30 × 100 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 2 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 2037 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 100·1000/490.9 = 203.7 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 203.7/100000 = 0.002037 = 2037 µε

答案

ε = 2037 µε
2.轴向应力与应变

答案: σ2 = 30.95 MPa

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

第 2 段的份额

F2 = 50000·439823/565487 = 38889 N

应力

σ2 = 38889/1257 = 30.95 MPa （压缩）

答案

σ2 = 30.95 MPa
3.轴的扭转

答案: G = 38.91 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

剪切模量

T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·400/(15708·0.02618) = 38907 MPa
G = 38.91 GPa

答案

G = 38.91 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: τmax = 135.3 MPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

内扭矩

取 TC 的转向为正。

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC + TB = 1500 + 200 = 1700 N·m

最大切应力

内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。

|T|max = 1700 N·m
τmax = 16·1.7 × 10⁶/(π·40³) = 135.3 MPa

答案

τmax = 135.3 MPa
5.剪力和弯矩

答案: Vx = 14 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20截面1.5 m8.5 m

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 20 − 4·1.5 = 14 kN

答案

Vx = 14 kN
6.剪力和弯矩

答案: Mmax = 216 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 75·4 + 3·10·5
RB = 450/10 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 45 = 60 kN

V = 0 在哪里？

V(4⁻) = RA − w·4 = 48 kN
V(4⁺) = 48 − 75 = −27 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 60·4 − 3·4²/2 = 216 kN·m

答案

Mmax = 216 kN·m

它出现在距 A 为 x = 4 m 处。

7.形心和惯性矩

答案: Ix = 27.69 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (15000·75 − 1257·90)/(15000 − 1257) = 73.63 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·1.372² = 28.15 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·16.37² = 0.4625 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 27.69 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 27.69 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩

答案: σ底部 = 213.8 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 200 + 15/2 = 207.5 mm
腹板: Aw = 20·200 = 4000 mm², yw = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·207.5 + 4000·100)/7600 = 150.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·15³/12 + 3600·(207.5 − 150.9)² = 1.159 × 10⁷ mm⁴
腹板: 20·200³/12 + 4000·(100 − 150.9)² = 2.371 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.159 × 10⁷ + 2.371 × 10⁷ = 3.53 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 150.9 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·150.9/3.53 × 10⁷ = 213.8 MPa

答案

σ底部 = 213.8 MPa
9.莫尔圆与应力变换

答案: τxy = 94.87 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

所需半径

C = (−20 + 70)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 130 − 25 = 105 MPa
στxyCσ1​σ2​

切应力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 45²) = 94.87 MPa

答案

τxy = 94.87 MPa
10.莫尔圆与应力变换

答案: σ1 = 65.17 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

表面处的应力

σ = F/A = 130000/(π·60²/4) = 130000/2827 = 45.98 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35.37 MPa
στxyCσ1​σ2​

莫尔圆

C = σ/2 = 22.99 MPa
R = √(22.99² + 35.37²) = 42.18 MPa
σ1 = C + R = 65.17 MPa
σ2 = C − R = −19.19 MPa

答案

σ1 = 65.17 MPa
11.梁的挠度

答案: δB = 34.09 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δP = Pa³/(3EI) = 17.05 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.01705 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 34.09 mm

答案

δB = 34.09 mm
12.梁的挠度

答案: RB = 12 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δload = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·4·8/8 = 12 kN

答案

RB = 12 kN
13.柱的屈曲

答案: Pcr = 49.35 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 1·3000 = 3000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3000² = 49348 N = 49.35 kN

答案

Pcr = 49.35 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 39.34 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/6.25 = 224

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39.34 MPa

答案

σcr = 39.34 MPa

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