材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 100 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 300 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。

P = 115 kN第 1 段：Ø40 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）

δ = mm

3.轴的扭转中等

一根空心轴须承受 2000 N·m 的扭矩。其内径为外径的 0.7 倍，切应力不得超过 80 MPa。求最小外径 d_o。

T = 2000 N·md_i/d_o = 0.7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.轴的扭转困难

一根空心轴在 1500 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τ_max。

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 6 mw = 16 kN/m，从 0 到 2 m

x₀ = m

7.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 70 mm，内径 d = 58 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 70 mmd = 58 mm

r = mm

8.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.莫尔圆与应力变换中等

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 10 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 40 MPa，σ_z = 0。求该点的绝对最大切应力 τ_abs（考虑三维中所有平面）。

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.莫尔圆与应力变换困难

一根直径 30 mm 的实心轴承受100 N·m 的弯矩，同时承受 100 N·m 的扭矩。在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处，求最大主应力 σ₁。

d = 30 mmM = 100 N·mT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.1381 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5890 = 6.519 × 10⁸ N

缩短量

δ = 300000·300/6.519 × 10⁸ = 0.1381 mm

答案

δ = 0.1381 mm

2.轴向应力与应变

答案: δ = 5.475 mm

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 91.51 MPa

σ₂ = 1017 MPa

叠加各段伸长量

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91.51·500/117000 = 0.3911 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1017·1000/200000 = 5.084 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.475 mm

答案

δ = 5.475 mm

3.轴的扭转

答案: d_o = 55.13 mm

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

由容许应力求外径

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.7599)) = 55.13 mm

d_i = 0.7·55.13 = 38.59 mm

答案

d_o = 55.13 mm

实心轴需要 d = 50.31 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。

4.轴的扭转

答案: τ_max = 17.25 MPa

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m

极惯性矩

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴

最大切应力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·30/1.107 × 10⁶ = 17.25 MPa

答案

τ_max = 17.25 MPa

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 49.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 20·4.5 − 4·4.5·2.25 = 49.5 kN·m

答案

M_x = 49.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x₀ = 1.667 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN，作用于 x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 16·2·1

R_B = 32/6 = 5.333 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 5.333 = 26.67 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 26.67/16 = 1.667 m

答案

x₀ = 1.667 m

7.形心和惯性矩

答案: r = 22.73 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 1206 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 623091 mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(623091/1206) = 22.73 mm

答案

r = 22.73 mm

8.形心和惯性矩

答案: M_allow = 9.1 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (3200·210 + 2400·100)/5600 = 162.9 mm

上边缘: c = 220 − 162.9 = 57.14 mm

惯性矩

I = 160·20³/12 + 3200·47.14² + 12·200³/12 + 2400·62.86² = 2.47 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 150·2.47 × 10⁷/57.14 = 64.84 kN·m

下边缘: M = 60·2.47 × 10⁷/162.9 = 9.1 kN·m

控制值

M_allow = min = 9.1 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 9.1 kN·m

9.莫尔圆与应力变换

答案: τ_abs = 41.23 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σ_max − σ_min)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。

面内主应力

C = 20 MPa, R = √((−10)² + 40²) = 41.23 MPa

σ₁ = 61.23 MPa, σ₂ = −21.23 MPa, σ_z = 0

三个圆中最大的

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(82.46, 61.23, 21.23)/2 = 41.23 MPa

答案

τ_abs = 41.23 MPa

这里 σ₁ 和 σ₂ 异号，所以面内最大值 R 也就是绝对最大值。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ₁ = 45.54 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

表面处的应力

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37.73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18.86 MPa

莫尔圆

C = σ/2 = 18.86 MPa

R = √(18.86² + 18.86²) = 26.68 MPa

σ₁ = C + R = 45.54 MPa

σ₂ = C − R = −7.813 MPa

答案

σ₁ = 45.54 MPa

11.梁的挠度

答案: δ_max = 17.83 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 17.83 mm

答案

δ_max = 17.83 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 22.5 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·200000·11.11) = 2.25 × 10⁷ mm⁴

I_req = 22.5 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 22.5 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 49.35 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3000² = 49348 N = 49.35 kN

答案

P_cr = 49.35 kN

14.柱的屈曲

答案: σ_cr = 27.76 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa

答案

σ_cr = 27.76 MPa

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