材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 10 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.轴向应力与应变困难

阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σ_max。

P = 90 kN第 1 段：Ø40 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø16 mm，1 m，黄铜（E = 100 GPa）

σ_max = MPa

3.轴的扭转中等

一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 100 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根直径 40 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 1.5 m 的 B 处作用 500 N·m 的扭矩，再往前 0.8 m 的自由端 C 处作用一个同向的 400 N·m 扭矩。求轴中的最大切应力 τ_max。

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 400 N·mAB = 1.5 mBC = 0.8 m

τ_max = MPa

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 55 kN 位于 1.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 72 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 190 mm、厚 16 mm，总高度 480 mm，腹板厚 8 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 60 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 190 mmH = 480 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mmM = 60 kN·m

σ_max = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = 90 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θ_p，取值在 −90° 到 90° 之间。

σ_x = 40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.莫尔圆与应力变换困难

薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −50 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（σ_z = 0）。材料的屈服强度为 350 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。

σ_x = −50 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 30 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: ε = 755.7 µε

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113.1 = 88.42 MPa

应变（胡克定律）

E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 88.42/117000 = 0.0007557 = 755.7 µε

答案

ε = 755.7 µε

2.轴向应力与应变

答案: σ_max = 447.6 MPa

轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。

两段受力相同

自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 71.62 MPa

σ₂ = 447.6 MPa

最大应力

较细的一段面积较小，因此应力较大。

σ_max = 447.6 MPa

答案

σ_max = 447.6 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 1.915 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·38350) = 0.03343 rad

φ = 0.03343·180/π = 1.915°

答案

φ = 1.915°

4.轴的扭转

答案: τ_max = 71.62 MPa

内扭矩

取 T_C 的转向为正。

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 500 = 900 N·m

最大切应力

内扭矩最大的一段应力最大（直径相同）。

|T|_max = 900 N·m

τ_max = 16·900000/(π·40³) = 71.62 MPa

答案

τ_max = 71.62 MPa

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 16.88 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 15·1.5 − 5·1.5·0.75 = 16.88 kN·m

答案

M_x = 16.88 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 88.88 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1.5 + 8·6·3

R_B = 226.5/6 = 37.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 37.75 = 65.25 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 65.25·1.5 − 8·1.5·0.75 = 88.88 kN·m

答案

M_x = 88.88 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 165.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·120 − 2827·72)/(36000 − 2827) = 124.1 mm

完整的板关于 ȳ

150·240³/12 + 36000·−4.091² = 173.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−52.09² = 8.308 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 165.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 165.1 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_max = 37.18 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 480 − 2·16 = 448 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·480³ − 182·448³)/12

I_x = 3.873 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 240 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·240/3.873 × 10⁸ = 37.18 MPa

答案

σ_max = 37.18 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_p = 61 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。

2θ_p = atan2(2·40, 40 − 90) = 122°

单元体上的角度

θ_p = 61°

答案

θ_p = 61°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: n = 3.71

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σ_Y 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σ_Y/2 时屈服。

主应力

C = −25 MPa, R = 47.17 MPa

σ₁ = 22.17 MPa, σ₂ = −72.17 MPa, σ₃ = 0

特雷斯卡

σ_max − σ_min = 94.34 MPa

n = 350/94.34 = 3.71

答案

n = 3.71

n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。

11.梁的挠度

答案: δ_max = 6.459 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 6.459 mm

答案

δ_max = 6.459 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 54.55 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·11.11) = 5.455 × 10⁷ mm⁴

I_req = 54.55 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 54.55 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 48.06 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2100² = 48063 N = 48.06 kN

答案

P_cr = 48.06 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 60.97 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 60.97 mm

答案

d = 60.97 mm

校核：长细比 KL/r 为 164，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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