轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa）放在一根青铜管（外径 100 mm，内径 70 mm，E = 110 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 50 kN杆: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa，许用应力 160 MPa）放在一根黄铜管（外径 80 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa，许用应力 70 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
一根钢实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 250 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 25 mm 的实心黄铜轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 3 m、距 B 1.2 m 的 C 处施加 400 N·m 的扭矩。 求墙 A 处的反扭矩 TA。
d = 25 mmT0 = 400 N·ma = 3 mb = 1.2 m
TA = N·m
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 5.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 6 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mm孔心: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 140 mmM = 15 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 40 MPa、σᵧ = 60 MPa。在最大主应力达到 85 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 40 MPaσy = 60 MPaσ1 = 85 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 60 mm 的实心轴承受30 kN 的轴向压力，同时承受 2000 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 60 mmF = −30 kNT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 8 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 75 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 75 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.03613 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6.919 × 10⁸ N
缩短量
δ = 50000·500/6.919 × 10⁸ = 0.03613 mm
答案
δ = 0.03613 mm
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 313.4 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.0008, 0.0007) = 0.0007 (黄铜)
最大载荷
Pmax = 0.0007·4.477 × 10⁸ = 313374 N = 313.4 kN
答案
Pmax = 313.4 kN
3.轴的扭转
答案: φ = 1.126 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(80000·79522) = 0.01965 rad
φ = 0.01965·180/π = 1.126°
答案
φ = 1.126°
4.轴的扭转
答案: TA = 114.3 N·m
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·1.2/4.2 = 114.3 N·m
TB = 400·3/4.2 = 285.7 N·m
答案
TA = 114.3 N·m
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 24.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 10·5.5 − 2·5.5·2.75 = 24.75 kN·m
答案
Mx = 24.75 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 17.28 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·6·3
RB = 108/5 = 21.6 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 21.6 = 14.4 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 14.4/6 = 2.4 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 14.4²/(2·6) = 17.28 kN·m
答案
Mmax = 17.28 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 228.6 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (48000·120 − 1257·156)/(48000 − 1257) = 119 mm
完整的板关于 ȳ
200·240³/12 + 48000·0.9678² = 230.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·36.97² = 1.843 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 228.6 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 228.6 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 128 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
腹板: Aw = 18·140 = 2520 mm², yw = 140/2 = 70 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·150 + 2520·70)/6120 = 117.1 mm
平行移轴定理
翼缘: 180·20³/12 + 3600·(150 − 117.1)² = 4.026 × 10⁶ mm⁴
腹板: 18·140³/12 + 2520·(70 − 117.1)² = 9.697 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4.026 × 10⁶ + 9.697 × 10⁶ = 1.372 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 117.1 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·117.1/1.372 × 10⁷ = 128 MPa
答案
σ底部 = 128 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 33.54 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (40 + 60)/2 = 50 MPa
R = σ1 − C = 85 − 50 = 35 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 10²) = 33.54 MPa
答案
τxy = 33.54 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 42.15 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = F/A = −30000/(π·60²/4) = −30000/2827 = −10.61 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47.16 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = −5.305 MPa
R = √((−5.305)² + 47.16²) = 47.45 MPa
σ1 = C + R = 42.15 MPa
σ2 = C − R = −52.76 MPa
答案
σ1 = 42.15 MPa
11.梁的挠度
答案: θA = 0.01569 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 10·4000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.01569 rad
答案
θA = 0.01569 rad
即 0.8988°。
12.梁的挠度
答案: MA = 120 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·8/8 = 45 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = wL²/2 − RB·L = 480 − 360 = 120 kN·m
答案
MA = 120 kN·m
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 66.84 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2100² = 66842 N = 66.84 kN
答案
Pcr = 66.84 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 64.86 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 64.86 mm
答案
d = 64.86 mm
校核：长细比 KL/r 为 123.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials