轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 120 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 300 mm，E = 100 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1500 rpm 下传递 5 kW，且切应力不超过 40 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 10 mw = 16 kN/m，从 0 到 6 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 168 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mm孔心: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 60 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 200 mm切口: 60 × 50 mm孔心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 0 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = 0 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −10 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 60° 的截面上的切应力 τθ（正方向与 τₓᵧ 相同）。
σx = −10 MPaσy = −30 MPaτxy = 50 MPaθ = 60°
τθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 19 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 10610 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 120·1000/113.1 = 1061 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 1061/100000 = 0.01061 = 10610 µε
答案
ε = 10610 µε
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 35.74 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 80000·418879/746128 = 44912 N
应力
σ2 = 44912/1257 = 35.74 MPa （压缩）
答案
σ2 = 35.74 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 14.78 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·79522) = 0.258 rad
φ = 0.258·180/π = 14.78°
答案
φ = 14.78°
4.轴的扭转
答案: d = 15.94 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·40)) = 15.94 mm
答案
d = 15.94 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 3 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 32 kN, R2 = 32 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 30, MC = 56, MD = 78 kN·m, ME = 56, MF = 30, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 78 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 141.1 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 16·6 = 96 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·10 = 16·6·3
RB = 288/10 = 28.8 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 28.8 = 67.2 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 67.2/16 = 4.2 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 67.2·4.2 − 16·4.2²/2 = 141.1 kN·m
答案
Mmax = 141.1 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 110 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (24000·120 − 1963·168)/(24000 − 1963) = 115.7 mm
完整的板关于 ȳ
100·240³/12 + 24000·4.277² = 115.6 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·52.28² = 5.673 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 110 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 110 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 78 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (24000·100 − 3000·80)/(24000 − 3000) = 102.9 mm
完整的板关于 ȳ
120·200³/12 + 24000·−2.857² = 80.2 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
60·50³/12 + 3000·−22.86² = 2.192 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 78 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 78 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θs = −52.02 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = −10/41.23 = −0.2425, sin 2θs = −40/41.23 = −0.9701
2θs = atan2(−40, −10) = −104°
单元体上的角度
θs = −52.02°
校核: θs − θp = −52.02 − (−7.018) = −45°
答案
θs = −52.02°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: τθ = −33.66 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
τθ = −10·0.866 + 50·−0.5 = −33.66 MPa
答案
τθ = −33.66 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 31.57 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 31.57 mm
答案
δmax = 31.57 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 25.46 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 19000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 19000·3000³/(48·6.27 × 10¹¹) = 17.05 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 8.411 mm
相加
δmax = 17.05 + 8.411 = 25.46 mm
答案
δmax = 25.46 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 39.69 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39.69 kN
答案
Pcr = 39.69 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 44.22 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa
答案
σcr = 44.22 MPa
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