材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

轴的扭转

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60

方法

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

莫尔圆与应力变换

圆心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主应力
σ1,2 = C ± R
主方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜截面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

方法

  1. 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
  2. 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
  4. 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等
P = ?12600 mm200 mmØ20Ø50δ = 0.5 mm

一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 50 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.5 mm 的轴向载荷 P。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
P = ?Ø4070 GPaØ80/60300 mm

一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa，许用应力 150 MPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa，许用应力 60 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。

杆: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
d = 12 mmT = 75 N·m250 mmφ = 13.53°

在扭转试验中，一根直径 12 mm 的实心试件受 75 N·m 的扭矩作用。标距 250 mm 两端的相对转角为 13.53°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。

T = 75 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 13.53°
G = GPa
4.轴的扭转困难
d = 50 mmTB​ = 1500 N·mTC​ = 500 N·mABC1.2 m0.5 m

一根直径 50 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 1.2 m 的 B 处作用 1500 N·m 的扭矩，再往前 0.5 m 的自由端 C 处作用一个同向的 500 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。

d = 50 mmTB = 1500 N·mTC = 500 N·mAB = 1.2 mBC = 0.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
P1​ = 25 kNP2​ = 20 kNABC2 m6 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 9.5 mP1 = 25 kN 位于 2 mP2 = 20 kN 位于 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mABC8 m1.5 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。

L = 9.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
200 mm300 mm90 mmØ50xIx​ = ?

一块 200 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 90 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
200 mm300 mm120 mm50 × 50xIx​ = ?

一块 200 mm × 300 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 200 mmh = 300 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
σx​ = −80σy​ = 20τxy​ = 60MPa

某点 σₓ = −80 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 60 MPa（拉为正）。单元体按顺时针 20°旋转。求旋转后单元体上垂直于旋转后 y′ 轴的面上的正应力 σy′。

σx = −80 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
σx​ = 140σy​ = 110τxy​ = 30MPa

受载零件中某点的应力为 σₓ = 140 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 25° 的截面上的正应力 σθ。

σx = 140 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
w = 15 kN/mδL = 2.5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
w = 12 kN/mδL = 8 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
PL = 6 md = 25 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
PL = 5 md = 30 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: P = 47.73 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1963 mm²

柔度

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9.26 × 10⁻⁷ mm/N

载荷

P = 0.5/1.048 × 10⁻⁵ = 47731 N = 47.73 kN

答案

P = 47.73 kN
2.轴向应力与应变

答案: Pmax = 303.9 kN

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

控制应变

ε = min(0.00075, 0.0008571) = 0.00075 (钢)

最大载荷

Pmax = 0.00075·4.053 × 10⁸ = 303949 N = 303.9 kN

答案

Pmax = 303.9 kN
3.轴的扭转

答案: G = 39 GPa

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩和角度

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 13.53·π/180 = 0.2361 rad

剪切模量

T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·250/(2036·0.2361) = 39003 MPa
G = 39 GPa

答案

G = 39 GPa

作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。

4.轴的扭转

答案: φC = 3.093 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

内扭矩

取 TC 的转向为正。

TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 1500 = 2000 N·m

各段的扭转角

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 2 × 10⁶·1200/(80000·613592) = 0.04889 rad
φBC = 500000·500/(80000·613592) = 0.005093 rad

端部 C 的扭转角

φC = 0.04889 + 0.005093 = 0.05399 rad → |φC| = 3.093°

答案

φC = 3.093°
5.剪力和弯矩

答案: Mx = 30 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·8 = 25·2 + 20·9.5
RB = 240/8 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 30 = 15 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·2 = 15·2 = 30 kN·m

答案

Mx = 30 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mmax = 14.89 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·9.5 = 19 kN，作用于 x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·9.5·4.75
RB = 90.25/8 = 11.28 kN
ΣFy = 0: RA = 19 − 11.28 = 7.719 kN

剪力为零

RA − w·x0 = 0 → x0 = 7.719/2 = 3.859 m

最大正弯矩

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 7.719²/(2·2) = 14.89 kN·m

答案

Mmax = 14.89 kN·m
7.形心和惯性矩

答案: Ix = 442.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (60000·150 − 1963·90)/(60000 − 1963) = 152 mm

完整的板关于 ȳ

200·300³/12 + 60000·−2.03² = 450.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−62.03² = 7.862 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 442.4 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 442.4 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩

答案: Ix = 447.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (60000·150 − 2500·120)/(60000 − 2500) = 151.3 mm

完整的板关于 ȳ

200·300³/12 + 60000·−1.304² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·50³/12 + 2500·−31.3² = 2.971 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 447.1 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 447.1 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换

答案: σy′ = 46.87 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

y′ 面的变换公式

σy′ = −30 − (−50)·0.766 − 60·(−0.6428) = 46.87 MPa

校核

正应力之和不随旋转而变化。

σx′ = −106.9 MPa, σx′ + σy′ = −60 = σx + σy

答案

σy′ = 46.87 MPa
10.莫尔圆与应力变换

答案: σθ = 157.6 MPa

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

变换公式

σθ = 125 + 15·0.6428 + 30·0.766 = 157.6 MPa

答案

σθ = 157.6 MPa
11.梁的挠度

答案: δ = 18.36 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 18.36 mm

答案

δ = 18.36 mm
12.梁的挠度

答案: Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·8000⁴/(384·200000·22.22) = 1.44 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲

答案: Pcr = 2.146 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4200² = 2146 N = 2.146 kN

答案

Pcr = 2.146 kN
14.柱的屈曲

答案: σcr = 9.064 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/7.5 = 466.7

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/466.7² = 9.064 MPa

答案

σcr = 9.064 MPa

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