材料力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

轴向应力与应变

正应力: σ = F/A
应变: ε = ΔL/L
胡克定律: σ = E·ε
伸长量: ΔL = FL/(EA)
热应变: ε_T = α·ΔT

轴的扭转

切应力: τ = T·r/J
实心轴: J = πd⁴/32
空心轴: J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角: φ = TL/(GJ)
功率: P = T·ω = 2πnT/60

方法

求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

莫尔圆与应力变换

圆心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主应力: σ_1,2 = C ± R
主方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜截面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

方法

计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2练习题

1.轴向应力与应变中等

一根钢杆（直径 20 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 300 mm，在刚性板之间被 150 kN 的力一起压缩。求缩短量 δ。

P = 150 kN杆: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.轴向应力与应变困难

一段钢（直径 20 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 50 mm，长 400 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 80 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ₂。

第 1 段: 钢, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.轴的扭转中等

一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.轴的扭转困难

一根实心铝轴在 500 rpm 下传递 15 kW。切应力不得超过 60 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mP₁ = 25 kN 位于 2 mP₂ = 10 kN 位于 3 m

M_max = kN·m

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 6 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_max = kN·m

7.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_顶部 = MPa

9.莫尔圆与应力变换中等

某点 σₓ = 20 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θ_s（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。

σ_x = 20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.莫尔圆与应力变换困难

受载零件中某点的应力为 σₓ = 130 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。求法线由 x 轴逆时针转过 30° 的截面上的正应力 σ_θ。

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm

P_cr = kN

14.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 105 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

3溶液

1.轴向应力与应变

答案: δ = 0.04511 mm

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，P_i = P·E_iA_i/ΣEA，σ_i = E_i·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·9346 = 9.975 × 10⁸ N

缩短量

δ = 150000·300/9.975 × 10⁸ = 0.04511 mm

答案

δ = 0.04511 mm

2.轴向应力与应变

答案: σ₂ = 31.56 MPa

刚度

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

第 2 段的份额

F₂ = 80000·539961/697041 = 61972 N

应力

σ₂ = 61972/1963 = 31.56 MPa （压缩）

答案

σ₂ = 31.56 MPa

3.轴的扭转

答案: φ = 2.394 °

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τ_max = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(39000·613592) = 0.04179 rad

φ = 0.04179·180/π = 2.394°

答案

φ = 2.394°

4.轴的扭转

答案: d = 71.22 mm

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m

按强度求直径

T = 286.5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·60)) = 28.97 mm

按刚度求直径

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 71.22 mm

控制直径

两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。

d = max(28.97, 71.22) = 71.22 mm

答案

d = 71.22 mm

这里由刚度控制。

5.剪力和弯矩

答案: M_max = 38 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2 + 10·3

R_B = 80/5 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 16 = 19 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·2 = 19·2 = 38 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·2 = 16·2 = 32 kN·m

最大值

M_max = 38 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 38 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 8.64 kN·m

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·6·3

R_B = 54/5 = 10.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 10.8 = 7.2 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7.2/3 = 2.4 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7.2²/(2·3) = 8.64 kN·m

答案

M_max = 8.64 kN·m

7.形心和惯性矩

答案: I_x = 70.8 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

腹板: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·285 + 5040·140)/7840 = 191.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·10³/12 + 2800·(285 − 191.8)² = 2.435 × 10⁷ mm⁴

腹板: 18·280³/12 + 5040·(140 − 191.8)² = 4.644 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.435 × 10⁷ + 4.644 × 10⁷ = 7.08 × 10⁷ mm⁴ = 70.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 70.8 × 10⁶ mm⁴

8.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 18.54 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287.5 mm

腹板: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·287.5 + 3360·140)/7260 = 219.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·15³/12 + 3900·(287.5 − 219.2)² = 1.825 × 10⁷ mm⁴

腹板: 12·280³/12 + 3360·(140 − 219.2)² = 4.305 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.825 × 10⁷ + 4.305 × 10⁷ = 6.129 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 295 − 219.2 = 75.76 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·75.76/6.129 × 10⁷ = 18.54 MPa

答案

σ_顶部 = 18.54 MPa

9.莫尔圆与应力变换

答案: θ_s = −51.26 °

平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。

圆上的角度

在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。

cos 2θ_s = −10/46.1 = −0.2169, sin 2θ_s = −45/46.1 = −0.9762

2θ_s = atan2(−45, −10) = −102.5°

单元体上的角度

θ_s = −51.26°

校核: θ_s − θ_p = −51.26 − (−6.264) = −45°

答案

θ_s = −51.26°

逆时针方向的角度为正。

10.莫尔圆与应力变换

答案: σ_θ = 139.6 MPa

变换公式

σ_θ = 80 + 50·0.5 + 40·0.866 = 139.6 MPa

答案

σ_θ = 139.6 MPa

11.梁的挠度

答案: δ = 34.44 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 34.44 mm

答案

δ = 34.44 mm

12.梁的挠度

答案: I_req = 8.371 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2500⁴/(384·70000·6.944) = 8.371 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8.371 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 8.371 × 10⁶ mm⁴

13.柱的屈曲

答案: P_cr = 225 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/4200² = 224989 N = 225 kN

答案

P_cr = 225 kN

14.柱的屈曲

答案: d = 91.36 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·105000 = 262500 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 91.36 mm

答案

d = 91.36 mm

校核：长细比 KL/r 为 131.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

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