轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求黄铜杆在轴向荷载下的伸长量 δ。
P = 115 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 50 kN第 1 段：Ø25 mm，0.5 m，黄铜（E = 100 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 1500 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.6 倍，切应力不得超过 60 MPa。求最小外径 do。
T = 1500 N·mdi/do = 0.6τallow = 60 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 500 rpm 下传递 10 kW，且切应力不超过 80 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 12 kN/m，从 0 到 10 mx = 0.5 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 4 mP = 10 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 220 mmM = 5 kN·m
σ顶部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 130 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 130 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 400 mm，壁厚 10 mm，所盛气体的表压为 1.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 20° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 400 mmt = 10 mmp = 1.5 MPaα = 20°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 3 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 60 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 60 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 20.34 mm
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 115·1000/113.1 = 1017 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 1017/100000 = 0.01017 = 10168 µε
伸长量
δ = ε·L = 0.01017·2000 mm = 20.34 mm
答案
δ = 20.34 mm
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 442.1 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 101.9 MPa
σ2 = 442.1 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 442.1 MPa
答案
σmax = 442.1 MPa
3.轴的扭转
答案: do = 52.69 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·60·0.8704)) = 52.69 mm
di = 0.6·52.69 = 31.61 mm
答案
do = 52.69 mm
实心轴需要 d = 50.31 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: d = 22.99 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm
答案
d = 22.99 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Vx = 54 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 60 − 12·0.5 = 54 kN
答案
Vx = 54 kN
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 13.78 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 4·4·2
RB = 42/4 = 10.5 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 10.5 = 15.5 kN
V = 0 在哪里？
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (15.5 − 10)/4 = 1.375 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 13.78 kN·m
答案
Mmax = 13.78 kN·m
它出现在距 A 为 x = 1.375 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 60.76 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (20000·100 − 2827·60)/(20000 − 2827) = 106.6 mm
完整的板关于 ȳ
100·200³/12 + 20000·−6.586² = 67.53 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−46.59² = 6.772 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 60.76 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 60.76 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 17.43 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
腹板: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·225 + 3520·110)/4720 = 139.2 mm
平行移轴定理
翼缘: 120·10³/12 + 1200·(225 − 139.2)² = 8.836 × 10⁶ mm⁴
腹板: 16·220³/12 + 3520·(110 − 139.2)² = 1.721 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.836 × 10⁶ + 1.721 × 10⁷ = 2.604 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 230 − 139.2 = 90.76 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·90.76/2.604 × 10⁷ = 17.43 MPa
答案
σ顶部 = 17.43 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 35.78 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, 130 − 110) = 71.57°
单元体上的角度
θp = 35.78°
答案
θp = 35.78°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 28.25 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1.5·200/10 = 30 MPa
σa = pr/(2t) = 15 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 15·sin²20° + 30·cos²20° = 28.25 MPa
答案
σn = 28.25 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 14.06 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 14.06 mm
答案
δmax = 14.06 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 16.88 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16.88 kN
答案
RB = 16.88 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 3.998 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3000² = 3998 N = 3.998 kN
答案
Pcr = 3.998 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 47.18 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 47.18 mm
答案
d = 47.18 mm
校核：长细比 KL/r 为 169.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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