轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 60 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 15 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø12 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根长 1.5 m 的实心钢轴承受 400 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1.5°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 400 N·mL = 1.5 mG = 80 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根实心钢轴在 1000 rpm 下传递 15 kW。切应力不得超过 40 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.25°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
50 kN @ 6 m35 kN @ 8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 6 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mP = 15 kN 位于 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 6 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
圆管外径 D = 120 mm，内径 d = 108 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
D = 120 mmd = 108 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
一块 200 mm × 300 mm 的板有一个宽 30 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 300 mm切口: 30 × 20 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 40 MPa，σᵧ = −30 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 40 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 500 mm，壁厚 6 mm，所盛气体的表压为 1.2 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 20° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 500 mmt = 6 mmp = 1.2 MPaα = 20°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θA，以弧度表示。
w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。
P = 11 kNb = 1.5 mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1222 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 60·1000/490.9 = 122.2 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 122.2/100000 = 0.001222 = 1222 µε
答案
ε = 1222 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 132.6 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 11.94 MPa
σ2 = 132.6 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 132.6 MPa
答案
σmax = 132.6 MPa
3.轴的扭转
答案: d = 41.33 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·1500/(80000·0.02618) = 286479 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 41.33 mm
答案
d = 41.33 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: d = 45.22 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
按强度求直径
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
dτ = ∛(16·143239/(π·40)) = 26.32 mm
按刚度求直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·143239/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 45.22 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(26.32, 45.22) = 45.22 mm
答案
d = 45.22 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 6 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 36.67 kN, R2 = 48.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 73.33, MC = 146.7, MD = 220 kN·m, ME = 193.3, MF = 96.67, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 220 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 90.75 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·5 + 12·8·4
RB = 459/8 = 57.38 kN
ΣFy = 0: RA = 111 − 57.38 = 53.63 kN
在 x = 6 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 53.63·6 − 15·(6 − 5) − 12·6·3 = 90.75 kN·m
答案
Mx = 90.75 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: r = 40.36 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
A = π(D² − d²)/4 = 2149 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.5 × 10⁶ mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(3.5 × 10⁶/2149) = 40.36 mm
答案
r = 40.36 mm
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 448.8 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (60000·150 − 600·105)/(60000 − 600) = 150.5 mm
完整的板关于 ȳ
200·300³/12 + 60000·−0.4545² = 450 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
30·20³/12 + 600·−45.45² = 1.26 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 448.8 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 448.8 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 20.3 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·30, 40 − −30) = 40.6°
单元体上的角度
θp = 20.3°
答案
θp = 20.3°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 47.08 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1.2·250/6 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 25·sin²20° + 50·cos²20° = 47.08 MPa
答案
σn = 47.08 MPa
11.梁的挠度
答案: θA = 0.02256 rad
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²
端部转角
θA = wL³/(24EI) = 15·1500³/(24·9.35 × 10¹⁰) = 0.02256 rad
答案
θA = 0.02256 rad
即 1.293°。
12.梁的挠度
答案: δmax = 5.632 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 11000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
最大值的位置
令较长段内的转角为零，即可得到该位置。
x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1500²)/3) = 4537 mm
最大挠度
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 5.632 mm
答案
δmax = 5.632 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 8.721 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 1·3000 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN
答案
Pcr = 8.721 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 6.294 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/7.5 = 560
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6.294 MPa
答案
σcr = 6.294 MPa
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