轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 40 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 40 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 35 kN第 1 段：Ø30 mm，0.5 m，铝（E = 70 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根阶梯形实心黄铜轴在 A 端固定。AB 段直径 50 mm，长 1.2 m；BC 段直径 30 mm，长 1 m。自由端 C 作用 400 N·m 的扭矩。 求轴中的最大切应力 τmax。
T = 400 N·md1 = 50 mm, L1 = 1.2 md2 = 30 mm, L2 = 1 m
τmax = MPa
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 3000 rpm 下传递 75 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 75 kWN = 3000 rpmdo = 80 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
60 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mP = 70 kN 位于 3 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 120 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 100 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 120 mmM = 15 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 100 MPaσy = −40 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = 30 MPa，τₓᵧ = −40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 50° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 30 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。
P = 23 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 5 mw = 6 kN/m
RB = kN
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 30 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 30 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 62.83 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3.979 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.4/6.366 × 10⁻⁶ = 62832 N = 62.83 kN
答案
P = 62.83 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 2.094 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 49.51 MPa
σ2 = 174.1 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 49.51·500/70000 = 0.3537 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 174.1·2000/200000 = 1.741 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.094 mm
答案
δ = 2.094 mm
3.轴的扭转
答案: τmax = 75.45 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
各段的应力
T = 400 N·m = 400000 N·mm
τAB = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa
τBC = 16·400000/(π·30³) = 75.45 MPa
答案
τmax = 75.45 MPa
4.轴的扭转
答案: τmax = 3.125 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m
极惯性矩
J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 238732·40/3.056 × 10⁶ = 3.125 MPa
答案
τmax = 3.125 MPa
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 3 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 60 kN, R2 = 60 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 55, MC = 100, MD = 135 kN·m, ME = 100, MF = 55, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 135 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 118.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 70·3 + 3·6·3
RB = 264/6 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 88 − 44 = 44 kN
V = 0 在哪里？
V(3⁻) = RA − w·3 = 35 kN
V(3⁺) = 35 − 70 = −35 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。
最大弯矩
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 44·3 − 3·3²/2 = 118.5 kN·m
答案
Mmax = 118.5 kN·m
它出现在距 A 为 x = 3 m 处。
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 267.8 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·150 − 1963·120)/(36000 − 1963) = 151.7 mm
完整的板关于 ȳ
120·300³/12 + 36000·−1.731² = 270.1 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−31.73² = 2.284 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 267.8 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 267.8 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 357.9 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 100·10 = 1000 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
腹板: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1000·125 + 1200·60)/2200 = 89.55 mm
平行移轴定理
翼缘: 100·10³/12 + 1000·(125 − 89.55)² = 1.265 × 10⁶ mm⁴
腹板: 10·120³/12 + 1200·(60 − 89.55)² = 2.488 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.265 × 10⁶ + 2.488 × 10⁶ = 3.753 × 10⁶ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 89.55 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·89.55/3.753 × 10⁶ = 357.9 MPa
答案
σ底部 = 357.9 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 17.77 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·50, 100 − −40) = 35.54°
单元体上的角度
θp = 17.77°
答案
θp = 17.77°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −9.392 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 30 + 0·−0.1736 + −40·0.9848 = −9.392 MPa
答案
σθ = −9.392 MPa
11.梁的挠度
答案: δB = 3.514 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 23000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
自由端的挠度
荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。
δP = Pa³/(3EI) = 2.556 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001917 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3.514 mm
答案
δB = 3.514 mm
12.梁的挠度
答案: RB = 11.25 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11.25 kN
答案
RB = 11.25 kN
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 109.9 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 1·2000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN
答案
Pcr = 109.9 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 57.49 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 57.49 mm
答案
d = 57.49 mm
校核：长细比 KL/r 为 292.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials