轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 40 kNd = 16 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 30 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根长 1.5 m 的实心铝轴承受 100 N·m 的扭矩。两端之间的扭转角不得超过 1.5°。求满足该限值的最小直径 d。
T = 100 N·mL = 1.5 mG = 26 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 500 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 50 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 9.5 mP1 = 15 kN 位于 2 mP2 = 15 kN 位于 9.5 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 60 kN 位于 3.5 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mm孔心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
焊接工字形截面的上翼缘为 190 × 10 mm，腹板高 200 mm、厚 12 mm，下翼缘为 270 × 18 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
上翼缘: 190 × 10 mm腹板: 12 × 200 mm下翼缘: 270 × 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −80 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −80 MPaσy = 70 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −70 MPa，σᵧ = 110 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 355 MPa。按冯·米塞斯（畸变能）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = −70 MPaσy = 110 MPaτxy = −60 MPaσY = 355 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 13 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 8 mP = 10 kN 位于 4 m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 20 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1700 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 40·1000/201.1 = 198.9 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 198.9/117000 = 0.0017 = 1700 µε
答案
ε = 1700 µε
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 26.88 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 120000·706.9/200 = 424115 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 30000·424115/669552 = 19003 N
应力
σ2 = 19003/706.9 = 26.88 MPa （压缩）
答案
σ2 = 26.88 MPa
3.轴的扭转
答案: d = 38.71 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
所需的极惯性矩
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(26000·0.02618) = 220368 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 38.71 mm
答案
d = 38.71 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
4.轴的扭转
答案: d = 45.99 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45.99 mm
答案
d = 45.99 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 16.88 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·8 = 15·2 + 15·9.5
RB = 172.5/8 = 21.56 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 21.56 = 8.438 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·2 = 8.438·2 = 16.88 kN·m
答案
Mx = 16.88 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 100.6 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·3.5 + 3·6·3
RB = 264/6 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 44 = 34 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 34·3.5 − 3·3.5·1.75 = 100.6 kN·m
答案
Mx = 100.6 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (40000·100 − 1257·120)/(40000 − 1257) = 99.35 mm
完整的板关于 ȳ
200·200³/12 + 40000·0.6487² = 133.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·20.65² = 0.6615 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 74.93 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成三个矩形
每个 y 都从底边量起。
上翼缘: A = 1900 mm², y = 223 mm
腹板: A = 2400 mm², y = 118 mm
下翼缘: A = 4860 mm², y = 9 mm
形心
ȳ = (1900·223 + 2400·118 + 4860·9)/9160 = 81.95 mm
平行移轴定理
上翼缘: 190·10³/12 + 1900·141.1² = 3.782 × 10⁷ mm⁴
腹板: 12·200³/12 + 2400·36.05² = 1.112 × 10⁷ mm⁴
下翼缘: 270·18³/12 + 4860·72.95² = 2.599 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.782 × 10⁷ + 1.112 × 10⁷ + 2.599 × 10⁷
Ix = 7.493 × 10⁷ mm⁴ = 74.93 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 74.93 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 90.14 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−80 − 70)/2)² + −50²) = 90.14 MPa
答案
τmax = 90.14 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.884
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 20 MPa, R = 108.2 MPa
σ1 = 128.2 MPa, σ2 = −88.17 MPa, σ3 = 0
冯·米塞斯
σvM = √(128.2² − 128.2·(−88.17) + (−88.17)²) = 188.4 MPa
n = 355/188.4 = 1.884
答案
n = 1.884
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δP = 2.591 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 13000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 13000·2500²·1500²/(3·5.88 × 10¹²·4000) = 2.591 mm
答案
δP = 2.591 mm
12.梁的挠度
答案: MA = 15 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·10/16 = 3.125 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = P·L/2 − RB·L = 40 − 25 = 15 kN·m
答案
MA = 15 kN·m
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 116.6 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1050² = 116563 N = 116.6 kN
答案
Pcr = 116.6 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 51.58 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·20000 = 60000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 51.58 mm
答案
d = 51.58 mm
校核：长细比 KL/r 为 155.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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