轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 115 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 30 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 200 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 100 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 20 mm 的实心试件受 100 N·m 的扭矩作用。标距 200 mm 两端的相对转角为 1.87°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 100 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 1.87°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 500 rpm 下传递 75 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P。 求在距固定端 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 15 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 45 kN 位于 2.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 97.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mm孔心: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 25 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 180 mmM = 25 kN·m
σ底部 = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 80 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = −20 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 80 MPaσy = −80 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1000 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 1.5 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 50° 的螺旋焊缝焊接而成。 求作用在焊缝上（垂直于焊缝）的正应力 σn。
D = 1000 mmt = 8 mmp = 1.5 MPaα = 50°
σn = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 10 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 135 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 7321 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 115·1000/78.54 = 1464 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1464/200000 = 0.007321 = 7321 µε
答案
ε = 7321 µε
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 63.95 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·706.9/200 = 388772 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 100000·388772/860011 = 45205 N
应力
σ2 = 45205/706.9 = 63.95 MPa （压缩）
答案
σ2 = 63.95 MPa
3.轴的扭转
答案: G = 39.01 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.87·π/180 = 0.03264 rad
剪切模量
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·200/(15708·0.03264) = 39011 MPa
G = 39.01 GPa
答案
G = 39.01 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 49.54 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·60)) = 49.54 mm
答案
d = 49.54 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −20 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −15·1 = −15 kN·m
w: −10·1²/2 = −5 kN·m
Mx = −15 − 5 = −20 kN·m
答案
Mx = −20 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 17.56 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2.5 + 4·4·2
RB = 144.5/4 = 36.13 kN
ΣFy = 0: RA = 61 − 36.13 = 24.88 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24.88·3.5 − 45·(3.5 − 2.5) − 4·3.5·1.75 = 17.56 kN·m
答案
Mx = 17.56 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (15000·75 − 1257·97.5)/(15000 − 1257) = 72.94 mm
完整的板关于 ȳ
100·150³/12 + 15000·2.057² = 28.19 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·24.56² = 0.8835 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 142.3 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 180 + 25/2 = 192.5 mm
腹板: Aw = 16·180 = 2880 mm², yw = 180/2 = 90 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·192.5 + 2880·90)/7880 = 155 mm
平行移轴定理
翼缘: 200·25³/12 + 5000·(192.5 − 155)² = 7.277 × 10⁶ mm⁴
腹板: 16·180³/12 + 2880·(90 − 155)² = 1.996 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.277 × 10⁶ + 1.996 × 10⁷ = 2.724 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 155 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·155/2.724 × 10⁷ = 142.3 MPa
答案
σ底部 = 142.3 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 82.46 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((80 − −80)/2)² + −20²) = 82.46 MPa
答案
τmax = 82.46 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σn = 66.24 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 1.5·500/8 = 93.75 MPa
σa = pr/(2t) = 46.88 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
σn = 46.88·sin²50° + 93.75·cos²50° = 66.24 MPa
答案
σn = 66.24 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 1.356 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 1.356 mm
答案
δmax = 1.356 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 2.75 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 10000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 10000·3000³/(48·5.88 × 10¹²) = 0.9566 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 1.794 mm
相加
δmax = 0.9566 + 1.794 = 2.75 mm
答案
δmax = 2.75 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 27.47 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 1·1000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27.47 kN
答案
Pcr = 27.47 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 50.04 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·135000 = 270000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50.04 mm
答案
d = 50.04 mm
校核：长细比 KL/r 为 119.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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