轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铝杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 115 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 80 kN第 1 段：Ø40 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø16 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 20 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 60 mm 的实心黄铜轴在 A 端固定。距 A 1 m 的 B 处作用 200 N·m 的扭矩，再往前 3 m 的自由端 C 处作用一个同向的 2000 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 60 mmTB = 200 N·mTC = 2000 N·mAB = 1 mBC = 3 mG = 39 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 8 kN/m，从 0 到 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 7.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 140 mm，外高 H = 150 mm，壁厚均为 t = 10 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
B = 140 mmH = 150 mmt = 10 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 72 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 240 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 90 MPa、σᵧ = 0 MPa。在最大主应力达到 110 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 90 MPaσy = 0 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 130 MPa，σᵧ = 0 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 460 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 130 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPaσY = 460 MPa
n =
11.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 6 mP = 30 kN 位于 3 m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 14526 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 115·1000/113.1 = 1017 MPa
应变（胡克定律）
E for 铝 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1017/70000 = 0.01453 = 14526 µε
答案
ε = 14526 µε
2.轴向应力与应变
答案: δ = 2.244 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 397.9 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 63.66·1000/117000 = 0.5441 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397.9·500/117000 = 1.7 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.244 mm
答案
δ = 2.244 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 14.03 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(26000·15708) = 0.2449 rad
φ = 0.2449·180/π = 14.03°
答案
φ = 14.03°
4.轴的扭转
答案: φC = 9.468 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC + TB = 2000 + 200 = 2200 N·m
各段的扭转角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 2.2 × 10⁶·1000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.04434 rad
φBC = 2 × 10⁶·3000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.1209 rad
端部 C 的扭转角
φC = 0.04434 + 0.1209 = 0.1653 rad → |φC| = 9.468°
答案
φC = 9.468°
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 96 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 40·4 − 8·4·2 = 96 kN·m
答案
Mx = 96 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 19.78 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·7.5 = 37.5 kN，作用于 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·7.5·3.75
RB = 140.6/6 = 23.44 kN
ΣFy = 0: RA = 37.5 − 23.44 = 14.06 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 14.06/5 = 2.813 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 14.06²/(2·5) = 19.78 kN·m
答案
Mmax = 19.78 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: r = 56.77 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
b = 120 mm, h = 130 mm
A = BH − bh = 140·150 − 120·130 = 5400 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 1.74 × 10⁷ mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(1.74 × 10⁷/5400) = 56.77 mm
答案
r = 56.77 mm
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 166.1 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·120 − 2500·72)/(36000 − 2500) = 123.6 mm
完整的板关于 ȳ
150·240³/12 + 36000·−3.582² = 173.3 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
50·50³/12 + 2500·−51.58² = 7.173 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 166.1 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 166.1 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 46.9 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (90 + 0)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 110 − 45 = 65 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 45²) = 46.9 MPa
答案
τxy = 46.9 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 3.213
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 65 MPa, R = 71.59 MPa
σ1 = 136.6 MPa, σ2 = −6.589 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 143.2 MPa
n = 460/143.2 = 3.213
答案
n = 3.213
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δ = 2.035 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 2.035 mm
答案
δ = 2.035 mm
12.梁的挠度
答案: MA = 33.75 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·30/16 = 9.375 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = P·L/2 − RB·L = 90 − 56.25 = 33.75 kN·m
答案
MA = 33.75 kN·m
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 25.63 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25.63 kN
答案
Pcr = 25.63 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 79.31 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/15 = 93.33
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93.33² = 79.31 MPa
答案
σcr = 79.31 MPa
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