轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 50 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一根钢杆（直径 25 mm，E = 200 GPa，许用应力 150 MPa）放在一根铝管（外径 80 mm，内径 60 mm，E = 70 GPa，许用应力 100 MPa）内。二者在刚性板之间被一起压缩。求最大载荷 Pmax。
杆: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 10 mm 的实心试件受 20 N·m 的扭矩作用。标距 300 mm 两端的相对转角为 13.47°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 20 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 13.47°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 1450 rpm 下传递 75 kW，且切应力不超过 60 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 75 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 xc。
L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m
xc = m
7.形心和惯性矩中等
一块 120 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 250 mm、厚 20 mm，总高度 340 mm，腹板厚 12 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 40 kN·m。 求腹板与上翼缘交界处弯曲应力 σj 的大小。
B = 250 mmH = 340 mmtf = 20 mmtw = 12 mmM = 40 kN·m
σj = MPa
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 100 MPa，σᵧ = 70 MPa，τₓᵧ = 30 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 100 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = 120 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 275 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = 120 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPaσY = 275 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 45 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1592 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa
应变（胡克定律）
E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 159.2/100000 = 0.001592 = 1592 µε
答案
ε = 1592 µε
2.轴向应力与应变
答案: Pmax = 189.1 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·2199 = 2.521 × 10⁸ N
控制应变
ε = min(0.00075, 0.001429) = 0.00075 (钢)
最大载荷
Pmax = 0.00075·2.521 × 10⁸ = 189085 N = 189.1 kN
答案
Pmax = 189.1 kN
3.轴的扭转
答案: G = 26 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 13.47·π/180 = 0.2351 rad
剪切模量
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(981.7·0.2351) = 25996 MPa
G = 26 GPa
答案
G = 26 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: d = 34.74 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·493929/(π·60)) = 34.74 mm
答案
d = 34.74 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: Vx = 2 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 8 − 4·1.5 = 2 kN
答案
Vx = 2 kN
6.剪力和弯矩
答案: xc = 3.75 m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·5·2.5
RB = 25/4 = 6.25 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 6.25 = 3.75 kN
弯矩为零
两支座之间 M(x) = RA·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2RA/w 处为零。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·3.75/2 = 3.75 m
答案
xc = 3.75 m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 32.36 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (18000·75 − 2827·60)/(18000 − 2827) = 77.8 mm
完整的板关于 ȳ
120·150³/12 + 18000·−2.795² = 33.89 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−17.8² = 1.532 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 32.36 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 32.36 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: σj = 21.18 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 340 − 2·20 = 300 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·340³ − 238·300³)/12
Ix = 2.833 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 170 − 20 = 150 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·150/2.833 × 10⁸ = 21.18 MPa
答案
σj = 21.18 MPa
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 33.54 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((100 − 70)/2)² + 30²) = 33.54 MPa
答案
τmax = 33.54 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 1.677
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = 55 MPa, R = 82.01 MPa
σ1 = 137 MPa, σ2 = −27.01 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 164 MPa
n = 275/164 = 1.677
答案
n = 1.677
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δmax = 10.28 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 10.28 mm
答案
δmax = 10.28 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 33.48 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·70000·13.89) = 3.348 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 33.48 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 33.48 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 39.98 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1500² = 39981 N = 39.98 kN
答案
Pcr = 39.98 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 64.73 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 64.73 mm
答案
d = 64.73 mm
校核：长细比 KL/r 为 129.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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