轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 50 mm，长 400 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.4 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段青铜（直径 30 mm，长 300 mm，E = 110 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 青铜, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心钢轴在 A 端固定。距 A 0.5 m 的 B 处作用 1500 N·m 的扭矩，再往前 0.8 m 的自由端 C 处作用一个反向的 1000 N·m 扭矩。 求端部 C 扭转角 φC 的大小，以度表示。
d = 30 mmTB = 1500 N·mTC = 1000 N·mAB = 0.5 mBC = 0.8 mG = 80 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
10 kN @ 3 m8 kN/m, 1–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
25 kN @ 0 m55 kN @ 12 m4 kN/m, 2–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
圆管外径 D = 70 mm，内径 d = 58 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
D = 70 mmd = 58 mm
r = mm
8.形心和惯性矩困难
一块 120 mm × 240 mm 的板有一个宽 60 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 96 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 240 mm切口: 60 × 20 mm孔心: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −40 MPa，σᵧ = 80 MPa，τₓᵧ = −50 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = −40 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 30 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 40 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 30° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 30 MPaσy = −40 MPaτxy = 40 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (铝)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 95 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 95 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 88.36 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1.698 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.4/4.527 × 10⁻⁶ = 88357 N = 88.36 kN
答案
P = 88.36 kN
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 17.34 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 110000·706.9/300 = 259181 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·259181/422806 = 12260 N
应力
σ2 = 12260/706.9 = 17.34 MPa （压缩）
答案
σ2 = 17.34 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 4.31 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(26000·613592) = 0.07522 rad
φ = 0.07522·180/π = 4.31°
答案
φ = 4.31°
4.轴的扭转
答案: φC = 4.953 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
内扭矩
取 TC 的转向为正。
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 1500 = −500 N·m
各段的扭转角
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −500000·500/(80000·79522) = −0.0393 rad
φBC = 1 × 10⁶·800/(80000·79522) = 0.1258 rad
端部 C 的扭转角
φC = −0.0393 + 0.1258 = 0.08645 rad → |φC| = 4.953°
答案
φC = 4.953°
5.剪力和弯矩
答案: D (x = 3 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 19 kN, R2 = 15 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 19, MC = 34, MD = 41 kN·m, ME = 30, MF = 15, MG = 0
答案
标记点 D: MD = 41 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 10 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 33.5 kN, R2 = 78.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −50, MC = −41, MD = −48, ME = −71, MF = −110 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −110 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: r = 22.73 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
A = π(D² − d²)/4 = 1206 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 623091 mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(623091/1206) = 22.73 mm
答案
r = 22.73 mm
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 137.5 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (28800·120 − 1200·96)/(28800 − 1200) = 121 mm
完整的板关于 ȳ
120·240³/12 + 28800·−1.043² = 138.3 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
60·20³/12 + 1200·−25.04² = 0.7926 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 137.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 137.5 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 78.1 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((−40 − 80)/2)² + −50²) = 78.1 MPa
答案
τmax = 78.1 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −22.14 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −5 + 35·0.5 + 40·−0.866 = −22.14 MPa
答案
σθ = −22.14 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 16.07 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 16.07 mm
答案
δmax = 16.07 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 514.3 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·8000⁴/(384·70000·22.22) = 5.143 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 514.3 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 514.3 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 143.9 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
计算长度
KL = 1·2000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2000² = 143932 N = 143.9 kN
答案
Pcr = 143.9 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 37.42 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 37.42 mm
答案
d = 37.42 mm
校核：长细比 KL/r 为 106.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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