轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根钢杆（直径 40 mm，E = 200 GPa）放在一根铝管（外径 120 mm，内径 50 mm，E = 70 GPa）内。二者长度均为 600 mm，在刚性板之间被 50 kN 的力一起压缩。 求缩短量 δ。
P = 50 kN杆: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 85 kN第 1 段：Ø25 mm，1 m，铜（E = 117 GPa）第 2 段：Ø16 mm，0.5 m，铜（E = 117 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心轴须承受 400 N·m 的扭矩。 其内径为外径的 0.6 倍，切应力不得超过 40 MPa。求最小外径 do。
T = 400 N·mdi/do = 0.6τallow = 40 MPa
do = mm
4.轴的扭转困难
一根直径 30 mm 的实心铝轴两端 A 和 B 都固定在刚性墙上。在距 A 1.2 m、距 B 0.5 m 的 C 处施加 750 N·m 的扭矩。 求截面 C 的转角 φC，以度表示。
d = 30 mmT0 = 750 N·ma = 1.2 mb = 0.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 7 mP1 = 55 kN 位于 2 mP2 = 65 kN 位于 7 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
55 kN @ 0 m45 kN @ 6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 150 mm 的板有一个宽 50 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 150 mm切口: 50 × 30 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = −60 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（拉为正）。求从 x 轴到某平面法线的角度 θs（在 −90° 到 90° 之间），该平面上的切应力达到最大正值 +R（切应力与 τₓᵧ 同向为正）。
σx = −60 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
10.莫尔圆与应力变换困难
一个薄壁圆柱形储罐，内径 1200 mm，壁厚 8 mm，所盛气体的表压为 0.8 MPa。它由钢板沿与圆柱轴线成 20° 的螺旋焊缝焊接而成。 求沿焊缝作用的切应力 |τn| 的大小。
D = 1200 mmt = 8 mmp = 0.8 MPaα = 20°
|τn| = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 4 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 15 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: δ = 0.03313 mm
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
组合轴向刚度
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·9346 = 9.056 × 10⁸ N
缩短量
δ = 50000·600/9.056 × 10⁸ = 0.03313 mm
答案
δ = 0.03313 mm
2.轴向应力与应变
答案: δ = 3.287 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 173.2 MPa
σ2 = 422.8 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 173.2·1000/117000 = 1.48 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 422.8·500/117000 = 1.807 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.287 mm
答案
δ = 3.287 mm
3.轴的扭转
答案: do = 38.82 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
由容许应力求外径
T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0.8704)) = 38.82 mm
di = 0.6·38.82 = 23.29 mm
答案
do = 38.82 mm
实心轴需要 d = 37.07 mm；空心轴稍大一些，但轻得多。
4.轴的扭转
答案: φC = 7.335 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。 两端都固定时，仅靠静力学只能得到 TA + TB = T₀；第二个方程是变形协调条件（两部分在受荷截面处的扭转角相等）。
平衡和变形协调
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0.5/1.7 = 220.6 N·m
TB = 750·1.2/1.7 = 529.4 N·m
C 的转角
用 AC 段：它在 A 端固定，承受 TA。
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 220588·1200/(26000·79522) = 0.128 rad = 7.335°
答案
φC = 7.335°
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 14 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·5 = 55·2 + 65·7
RB = 565/5 = 113 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 113 = 7 kN
在 P1 处截开，保留左侧部分
Mx = RA·2 = 7·2 = 14 kN·m
答案
Mx = 14 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 43.33 kN, R2 = 56.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −55, MC = −66.67, MD = −78.33, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −90 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 25.78 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (15000·75 − 1963·105)/(15000 − 1963) = 70.48 mm
完整的板关于 ȳ
100·150³/12 + 15000·4.518² = 28.43 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·34.52² = 2.646 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 25.78 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 25.78 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 40.63 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (22500·75 − 1500·105)/(22500 − 1500) = 72.86 mm
完整的板关于 ȳ
150·150³/12 + 22500·2.143² = 42.29 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
50·30³/12 + 1500·32.14² = 1.662 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 40.63 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 40.63 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θs = 73.15 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，最高点 (+R) 与主应力点 σ₁ 相差 90°；在单元体上为 45°。
cos 2θs = −30/36.06 = −0.8321, sin 2θs = −(−20)/36.06 = 0.5547
2θs = atan2(20, −30) = 146.3°
单元体上的角度
θs = 73.15°
校核: θs − θp = 73.15 − (−61.85) = 135°
答案
θs = 73.15°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: |τn| = 9.642 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 薄壁圆筒：环向应力 σh = pr/t，轴向应力 σa = pr/(2t)；它们就是筒壁中的主应力。
筒壁应力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 0.8·600/8 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa
变换到焊缝
取 x 沿轴线 (σa)，y 沿环向 (σh)。焊缝的法线与轴线成 90° − α。
|τn| = (60 − 30)·sin 20°·cos 20° = 9.642 MPa
答案
|τn| = 9.642 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 20.25 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 4000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 4000·2500²·3500²/(3·8.4 × 10¹¹·6000) = 20.25 mm
答案
δP = 20.25 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·5000⁴/(384·11000·13.89) = 7.99 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 62.01 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62.01 kN
答案
Pcr = 62.01 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 100.7 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
回转半径和长细比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/10 = 140
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa
答案
σcr = 100.7 MPa
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