轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 20 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 120 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 20 kN第 1 段：Ø40 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，2 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 40 mm，内径 20 mm，长 3 m）一端固定，另一端受 200 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 200 N·mdo = 40 mmdi = 20 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心轴需在 3000 rpm 下传递 50 kW，且切应力不超过 50 MPa。求满足要求的最小直径 d。
P = 50 kWN = 3000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 80 kN 位于 1.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 m
MA = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 0 m55 kN @ 6 m40 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 200 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 90 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 220 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −40 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = 20 MPa，σz = 0。求该点的绝对最大切应力 τabs（考虑三维中所有平面）。
σx = −40 MPaσy = −50 MPaτxy = 20 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 25 mm 的实心轴承受90 kN 的轴向压力，同时承受 250 N·m 的扭矩。 在轴的表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 25 mmF = −90 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 18 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 65 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 65 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 18.75 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706.9) = 5.895 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/1.067 × 10⁻⁵ = 18745 N = 18.75 kN
答案
P = 18.75 kN
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 63.66 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 15.92 MPa
σ2 = 63.66 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 63.66 MPa
答案
σmax = 63.66 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 3.741 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴
扭转角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·3000/(39000·235619) = 0.06529 rad
φ = 0.06529·180/π = 3.741°
答案
φ = 3.741°
4.轴的扭转
答案: d = 25.31 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
由许用应力求直径
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·50)) = 25.31 mm
答案
d = 25.31 mm
实际中会向上取到下一个标准尺寸。
5.剪力和弯矩
答案: MA = −184 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −80·1.5 = −120 kN·m
w: −8·4²/2 = −64 kN·m
MA = −120 − 64 = −184 kN·m
答案
MA = −184 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 5 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 53.75 kN, R2 = 71.25 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −30, MC = −6.25, MD = −22.5, ME = −38.75, MF = −55 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −55 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 37.77 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 200·15 = 3000 mm², yf = 240 + 15/2 = 247.5 mm
腹板: Aw = 12·240 = 2880 mm², yw = 240/2 = 120 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·247.5 + 2880·120)/5880 = 185.1 mm
平行移轴定理
翼缘: 200·15³/12 + 3000·(247.5 − 185.1)² = 1.176 × 10⁷ mm⁴
腹板: 12·240³/12 + 2880·(120 − 185.1)² = 2.601 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.176 × 10⁷ + 2.601 × 10⁷ = 3.777 × 10⁷ mm⁴ = 37.77 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 37.77 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 15.83 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (7000·232.5 + 4400·110)/11400 = 185.2 mm
上边缘: c = 245 − 185.2 = 59.78 mm
惯性矩
I = 280·25³/12 + 7000·47.28² + 20·220³/12 + 4400·75.22² = 5.865 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 90·5.865 × 10⁷/59.78 = 88.3 kN·m
下边缘: M = 50·5.865 × 10⁷/185.2 = 15.83 kN·m
控制值
Mallow = min = 15.83 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 15.83 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: τabs = 32.81 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 在三维中，绝对最大切应力为三个主应力中 (σmax − σmin)/2；平面应力状态下第三个主应力为零。
面内主应力
C = −45 MPa, R = √(5² + 20²) = 20.62 MPa
σ1 = −24.38 MPa, σ2 = −65.62 MPa, σz = 0
三个圆中最大的
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(41.23, 24.38, 65.62)/2 = 32.81 MPa
答案
τabs = 32.81 MPa
这里由面外的圆控制：绝对最大值大于面内最大值 R。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 30.98 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = F/A = −90000/(π·25²/4) = −90000/490.9 = −183.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = −91.67 MPa
R = √((−91.67)² + 81.49²) = 122.7 MPa
σ1 = C + R = 30.98 MPa
σ2 = C − R = −214.3 MPa
答案
σ1 = 30.98 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 1.134 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 1.134 mm
答案
δmax = 1.134 mm
12.梁的挠度
答案: δmax = 59.54 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 18000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·6.27 × 10¹¹) = 38.28 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 21.27 mm
相加
δmax = 38.28 + 21.27 = 59.54 mm
答案
δmax = 59.54 mm
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 12.21 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12.21 kN
答案
Pcr = 12.21 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 90.68 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 90.68 mm
答案
d = 90.68 mm
校核：长细比 KL/r 为 185.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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