轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 25 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 50 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.25 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 15 kN第 1 段：Ø25 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø16 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根空心黄铜轴（外径 60 mm，内径 45 mm，长 2 m）一端固定，另一端受 200 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 200 N·mdo = 60 mmdi = 45 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 1000 rpm 下传递 100 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 100 kWN = 1000 rpmdo = 80 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 0 m60 kN @ 6 m45 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 120 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 80 mm。底板和两肢厚度均为 14 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。
b = 120 mmh = 80 mmt = 14 mm
ȳ = mm
8.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 50 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 300 mm切口: 50 × 50 mm孔心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 150 MPa，σᵧ = −40 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求面内最大切应力 τmax。
σx = 150 MPaσy = −40 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
薄板中一点处于平面应力状态：σₓ = −80 MPa，σᵧ = −70 MPa，τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 材料的屈服强度为 460 MPa。按特雷斯卡（最大切应力）准则求防止屈服的安全系数 n。
σx = −80 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPaσY = 460 MPa
n =
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 4 kNa = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 2.5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 10 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 10 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 44.62 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2.546 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.25/5.602 × 10⁻⁶ = 44625 N = 44.62 kN
答案
P = 44.62 kN
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 74.6 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 30.56 MPa
σ2 = 74.6 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 74.6 MPa
答案
σmax = 74.6 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 0.6756 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
扭转角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·2000/(39000·869767) = 0.01179 rad
φ = 0.01179·180/π = 0.6756°
答案
φ = 0.6756°
4.轴的扭转
答案: τmax = 10.91 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m
极惯性矩
J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 954930·40/3.5 × 10⁶ = 10.91 MPa
答案
τmax = 10.91 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 20 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2.5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 25·4 − 10·4·2 = 20 kN·m
答案
Mx = 20 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 52.33 kN, R2 = 110.7 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −40, MC = −30.67, MD = −72.33, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −120 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: ȳ = 27.95 mm
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 120·14 = 1680 mm², y1 = 7 mm
两肢: A2 = 2·14·66 = 1848 mm², y2 = 14 + 66/2 = 47 mm
形心
ȳ = (1680·7 + 1848·47)/3528 = 27.95 mm
答案
ȳ = 27.95 mm
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 331.6 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (45000·150 − 2500·195)/(45000 − 2500) = 147.4 mm
完整的板关于 ȳ
150·300³/12 + 45000·2.647² = 337.8 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
50·50³/12 + 2500·47.65² = 6.196 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 331.6 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 331.6 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τmax = 97.08 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
莫尔圆半径
τmax = R = √(((150 − −40)/2)² + 20²) = 97.08 MPa
答案
τmax = 97.08 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: n = 4.364
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。 屈服准则：冯·米塞斯准则预测当 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) 达到 σY 时屈服；特雷斯卡准则预测当绝对最大切应力达到 σY/2 时屈服。
主应力
C = −75 MPa, R = 30.41 MPa
σ1 = −44.59 MPa, σ2 = −105.4 MPa, σ3 = 0
特雷斯卡
σmax − σmin = 105.4 MPa
n = 460/105.4 = 4.364
答案
n = 4.364
n > 1 表示该点不屈服；特雷斯卡准则比冯·米塞斯准则稍保守。
11.梁的挠度
答案: δP = 4.618 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 4000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 4000·1000²·4000²/(3·9.24 × 10¹¹·5000) = 4.618 mm
答案
δP = 4.618 mm
12.梁的挠度
答案: hreq = 267.7 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2.5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 6000/250 = 24 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·6000⁴/(384·11000·24) = 1.598 × 10⁸ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.598 × 10⁸/100)1/3 = 267.7 mm
答案
hreq = 267.7 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 24.87 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
计算长度
KL = 1·2500 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2500² = 24871 N = 24.87 kN
答案
Pcr = 24.87 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 52.75 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 52.75 mm
答案
d = 52.75 mm
校核：长细比 KL/r 为 379.2，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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