轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 115 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
一段钢（直径 25 mm，长 400 mm，E = 200 GPa）与一段铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 120 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 20 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。
第 1 段: 钢, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.轴的扭转中等
在扭转试验中，一根直径 10 mm 的实心试件受 30 N·m 的扭矩作用。标距 300 mm 两端的相对转角为 6.57°（材料仍处于弹性范围）。求材料的切变模量 G。
T = 30 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 6.57°
G = GPa
4.轴的扭转困难
一根空心轴在 300 rpm 下传递 50 kW。求轴中的最大切应力 τmax。
P = 50 kWN = 300 rpmdo = 75 mmdi = 53 mm
τmax = MPa
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
35 kN @ 0 m45 kN @ 12 m25 kN @ 6 m6 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 180 mm、厚 14 mm，总高度 420 mm，腹板厚 10 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。
B = 180 mmH = 420 mmtf = 14 mmtw = 10 mm
Sx = × 10³ mm³
8.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 50 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 240 mm切口: 50 × 30 mm孔心: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
某点 σₓ = 120 MPa、σᵧ = 0 MPa。在最大主应力达到 180 MPa 之前，切应力 τxy（大小）最大可以是多少？
σx = 120 MPaσy = 0 MPaσ1 = 180 MPa
τxy = MPa
10.莫尔圆与应力变换困难
一根直径 40 mm 的实心轴承受200 N·m 的弯矩，同时承受 500 N·m 的扭矩。 在弯曲应力为拉应力且最大的上表面处， 求最大主应力 σ1。
d = 40 mmM = 200 N·mT = 500 N·m
σ1 = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 12515 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 115·1000/78.54 = 1464 MPa
应变（胡克定律）
E for 铜 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 1464/117000 = 0.01251 = 12515 µε
答案
ε = 12515 µε
2.轴向应力与应变
答案: σ2 = 11.56 MPa
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
刚度
k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 120000·706.9/500 = 169646 N/mm
第 2 段的份额
F2 = 20000·169646/415083 = 8174 N
应力
σ2 = 8174/706.9 = 11.56 MPa （压缩）
答案
σ2 = 11.56 MPa
3.轴的扭转
答案: G = 79.95 GPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩和角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 6.57·π/180 = 0.1147 rad
剪切模量
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(981.7·0.1147) = 79947 MPa
G = 79.95 GPa
答案
G = 79.95 GPa
作比较：钢 ≈ 80 GPa，黄铜 ≈ 39 GPa，铝 ≈ 26 GPa。
4.轴的扭转
答案: τmax = 25.6 MPa
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m
极惯性矩
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
最大切应力
τmax = T·(do/2)/J = 1.592 × 10⁶·37.5/2.332 × 10⁶ = 25.6 MPa
答案
τmax = 25.6 MPa
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 11.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 24·0.5 − 6·0.5·0.25 = 11.25 kN·m
答案
Mx = 11.25 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 43 kN, R2 = 98 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −70, MC = −66, MD = −86, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −180 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Sx = 1228 × 10³ mm³
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 420 − 2·14 = 392 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·420³ − 170·392³)/12
Ix = 2.58 × 10⁸ mm⁴
抗弯截面系数
c = H/2 = 210 mm
Sx = I/c = 2.58 × 10⁸/210
Sx = 1.228 × 10⁶ mm³ = 1228 × 10³ mm³
答案
Sx = 1228 × 10³ mm³
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 171.8 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·120 − 1500·144)/(36000 − 1500) = 119 mm
完整的板关于 ȳ
150·240³/12 + 36000·1.043² = 172.8 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
50·30³/12 + 1500·25.04² = 1.053 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 171.8 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 171.8 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: τxy = 103.9 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
所需半径
C = (120 + 0)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 180 − 60 = 120 MPa
切应力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(120² − 60²) = 103.9 MPa
答案
τxy = 103.9 MPa
10.莫尔圆与应力变换
答案: σ1 = 58.77 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
表面处的应力
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31.83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39.79 MPa
莫尔圆
C = σ/2 = 15.92 MPa
R = √(15.92² + 39.79²) = 42.85 MPa
σ1 = C + R = 58.77 MPa
σ2 = C − R = −26.94 MPa
答案
σ1 = 58.77 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 4.444 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 4.444 mm
答案
δmax = 4.444 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 15 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·4000⁴/(384·200000·11.11) = 1.5 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 15 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 15 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 7.46 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/4200² = 7460 N = 7.46 kN
答案
Pcr = 7.46 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 44.76 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
回转半径和长细比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/5 = 210
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44.76 MPa
答案
σcr = 44.76 MPa
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