轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
求钢杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。
P = 60 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求杆中的最大正应力 σmax。
P = 25 kN第 1 段：Ø25 mm，2 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø20 mm，1.5 m，黄铜（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.轴的扭转中等
一根铝实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。
T = 100 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心黄铜轴在 1000 rpm 下传递 50 kW。切应力不得超过 50 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 1°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 50 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 2 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 25 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8 mM0 = 25 kN·m 顺时针，作用于 2 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 9 mw = 12 kN/m，从 0 到 9 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m
Mmax = kN·m
7.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mm孔心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 40 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 72 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 240 mm切口: 40 × 30 mm孔心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = −50 MPa，σᵧ = −80 MPa，τₓᵧ = 20 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = −50 MPaσy = −80 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = −80 MPa，σᵧ = −20 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴逆时针转过 20° 的截面上的正应力 σθ。
σx = −80 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。 求固定端弯矩 MA 的大小。
L = 5 mP = 15 kN 位于 2.5 m
MA = kN·m
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 5 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: ε = 1492 µε
胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。
应力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 60·1000/201.1 = 298.4 MPa
应变（胡克定律）
E for 钢 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 298.4/200000 = 0.001492 = 1492 µε
答案
ε = 1492 µε
2.轴向应力与应变
答案: σmax = 79.58 MPa
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 50.93 MPa
σ2 = 79.58 MPa
最大应力
较细的一段面积较小，因此应力较大。
σmax = 79.58 MPa
答案
σmax = 79.58 MPa
3.轴的扭转
答案: φ = 0.3591 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
扭转角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(26000·613592) = 0.006268 rad
φ = 0.006268·180/π = 0.3591°
答案
φ = 0.3591°
4.轴的扭转
答案: d = 51.7 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
按强度求直径
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm
按刚度求直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·477465/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 51.7 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(36.5, 51.7) = 51.7 mm
答案
d = 51.7 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −6.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 25/8 = 3.125 kN (向上)
RA = −RB = −3.125 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −3.125·2 = −6.25 kN·m
答案
Mx = −6.25 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 93.02 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·9 = 108 kN，作用于 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·9·4.5
RB = 486/8 = 60.75 kN
ΣFy = 0: RA = 108 − 60.75 = 47.25 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 47.25/12 = 3.938 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 47.25²/(2·12) = 93.02 kN·m
答案
Mmax = 93.02 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Ix = 223.5 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (30000·150 − 706.9·195)/(30000 − 706.9) = 148.9 mm
完整的板关于 ȳ
100·300³/12 + 30000·1.086² = 225 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·30⁴/64 + 706.9·46.09² = 1.541 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 223.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 223.5 × 10⁶ mm⁴
8.形心和惯性矩
答案: Ix = 169.8 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·120 − 1200·72)/(36000 − 1200) = 121.7 mm
完整的板关于 ȳ
150·240³/12 + 36000·−1.655² = 172.9 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
40·30³/12 + 1200·−49.66² = 3.049 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 169.8 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 169.8 × 10⁶ mm⁴
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 26.57 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·20, −50 − −80) = 53.13°
单元体上的角度
θp = 26.57°
答案
θp = 26.57°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = −111.5 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = −50 + −30·0.766 + −60·0.6428 = −111.5 MPa
答案
σθ = −111.5 MPa
11.梁的挠度
答案: δmax = 4.444 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 4.444 mm
答案
δmax = 4.444 mm
12.梁的挠度
答案: MA = 14.06 kN·m
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4.688 kN
固定端的弯矩
荷载和支撑力对 A 取矩。
MA = P·L/2 − RB·L = 37.5 − 23.44 = 14.06 kN·m
答案
MA = 14.06 kN·m
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 32.64 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4200² = 32638 N = 32.64 kN
答案
Pcr = 32.64 kN
14.柱的屈曲
答案: d = 27.46 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 27.46 mm
答案
d = 27.46 mm
校核：长细比 KL/r 为 305.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。
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