轴向应力与应变
- 正应力
- σ = F/A
- 应变
- ε = ΔL/L
- 胡克定律
- σ = E·ε
- 伸长量
- ΔL = FL/(EA)
- 热应变
- εT = α·ΔT
材料力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
轴的扭转
- 切应力
- τ = T·r/J
- 实心轴
- J = πd⁴/32
- 空心轴
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 扭转角
- φ = TL/(GJ)
- 功率
- P = T·ω = 2πnT/60
方法
- 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
- 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
- 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
- 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
莫尔圆与应力变换
- 圆心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主应力
- σ1,2 = C ± R
- 主方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜截面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
方法
- 计算莫尔圆圆心：C = (σx + σy)/2。
- 计算半径：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
- 圆上的角度是单元体上角度的两倍：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2练习题
1.轴向应力与应变中等
一根杆由一段钢（直径 30 mm，长 600 mm，E = 200 GPa）与一段黄铜（直径 30 mm，长 500 mm，E = 100 GPa）首尾相接而成。它一端固定，另一端被拉。求使它总共伸长 0.2 mm 的轴向载荷 P。
第 1 段: 钢, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa第 2 段: 黄铜, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.轴向应力与应变困难
阶梯杆一端固定在墙上，自由端受荷载。求总伸长量 δ。
P = 10 kN第 1 段：Ø25 mm，0.5 m，钢（E = 200 GPa）第 2 段：Ø12 mm，1.5 m，钢（E = 200 GPa）
δ = mm
3.轴的扭转中等
一根空心钢轴（外径 40 mm，内径 30 mm，长 2 m）一端固定，另一端受 400 N·m 的扭矩作用。求扭转角 φ，以度表示。
T = 400 N·mdo = 40 mmdi = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.轴的扭转困难
一根实心钢轴在 1500 rpm 下传递 10 kW。切应力不得超过 40 MPa，每 m 长度的扭转角不得超过 0.75°。求同时满足两个限值的最小直径 d。
P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mP = 45 kN 位于 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m
MA = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
15 kN @ 0 m40 kN @ 6 m35 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 250 mm、厚 14 mm，总高度 500 mm，腹板厚 12 mm。 求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 Sx。
B = 250 mmH = 500 mmtf = 14 mmtw = 12 mm
Sx = × 10³ mm³
8.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 100 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 180 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.莫尔圆与应力变换中等
受载零件中某点的应力为 σₓ = 160 MPa，σᵧ = −10 MPa，τₓᵧ = 50 MPa（拉为正）。 求从 x 轴到最大主应力方向的角度 θp，取值在 −90° 到 90° 之间。
σx = 160 MPaσy = −10 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.莫尔圆与应力变换困难
受载零件中某点的应力为 σₓ = 80 MPa，σᵧ = −50 MPa，τₓᵧ = −60 MPa（拉为正）。 求法线由 x 轴顺时针转过 45° 的截面上的正应力 σθ。
σx = 80 MPaσy = −50 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.梁的挠度中等
简支梁在距支座 A 为 a = 1 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。
P = 20 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.轴向应力与应变
答案: P = 17.67 kN
两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。
面积
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔度
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706.9) = 7.074 × 10⁻⁶ mm/N
载荷
P = 0.2/1.132 × 10⁻⁵ = 17671 N = 17.67 kN
答案
P = 17.67 kN
2.轴向应力与应变
答案: δ = 0.7141 mm
轴向受力构件：每个等截面段满足 δ = PL/(AE)。串联构件的伸长量相加。
两段受力相同
自由端承受 P，所以杆的每个截面都承受相同的轴力 P。只有面积和材料不同。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 20.37 MPa
σ2 = 88.42 MPa
叠加各段伸长量
δ1 = σ1L1/E1 = 20.37·500/200000 = 0.05093 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 88.42·1500/200000 = 0.6631 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.7141 mm
答案
δ = 0.7141 mm
3.轴的扭转
答案: φ = 3.335 °
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
极惯性矩
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
扭转角
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·2000/(80000·171806) = 0.05821 rad
φ = 0.05821·180/π = 3.335°
答案
φ = 3.335°
4.轴的扭转
答案: d = 28.05 mm
圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。
扭矩
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m
按强度求直径
T = 63.66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·40)) = 20.09 mm
按刚度求直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·63662/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 28.05 mm
控制直径
两个限值都必须满足，所以较大的直径起控制作用。
d = max(20.09, 28.05) = 28.05 mm
答案
d = 28.05 mm
这里由刚度控制。
5.剪力和弯矩
答案: MA = −250 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −45·5 = −225 kN·m
w: −2·5²/2 = −25 kN·m
MA = −225 − 25 = −250 kN·m
答案
MA = −250 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: F (x = 5 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 17.5 kN, R2 = 72.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −15, MC = −12.5, MD = −10, ME = −7.5, MF = −40 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = −40 kN·m
7.形心和惯性矩
答案: Sx = 2074 × 10³ mm³
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 500 − 2·14 = 472 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·500³ − 238·472³)/12
Ix = 5.186 × 10⁸ mm⁴
抗弯截面系数
c = H/2 = 250 mm
Sx = I/c = 5.186 × 10⁸/250
Sx = 2.074 × 10⁶ mm³ = 2074 × 10³ mm³
答案
Sx = 2074 × 10³ mm³
8.形心和惯性矩
答案: Mallow = 3.164 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (2800·190 + 1800·90)/4600 = 150.9 mm
上边缘: c = 200 − 150.9 = 49.13 mm
惯性矩
I = 140·20³/12 + 2800·39.13² + 10·180³/12 + 1800·60.87² = 1.591 × 10⁷ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 100·1.591 × 10⁷/49.13 = 32.38 kN·m
下边缘: M = 30·1.591 × 10⁷/150.9 = 3.164 kN·m
控制值
Mallow = min = 3.164 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 3.164 kN·m
9.莫尔圆与应力变换
答案: θp = 15.23 °
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
圆上的角度
在莫尔圆上，点 x 位于距 σ 轴 2θp 的角度处；象限由 σₓ − σᵧ 和 τₓᵧ 的符号确定。
2θp = atan2(2·50, 160 − −10) = 30.47°
单元体上的角度
θp = 15.23°
答案
θp = 15.23°
逆时针方向的角度为正。
10.莫尔圆与应力变换
答案: σθ = 75 MPa
平面应力变换：在转过 θ 的截面上，σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。莫尔圆可同时表示所有截面：圆心位于 C = (σₓ + σᵧ)/2，半径为 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主应力为 C ± R，面内最大切应力为 R。
变换公式
σθ = 15 + 65·0 + −60·−1 = 75 MPa
答案
σθ = 75 MPa
11.梁的挠度
答案: δP = 3.628 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 20000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1000²·4000²/(3·5.88 × 10¹²·5000) = 3.628 mm
答案
δP = 3.628 mm
12.梁的挠度
答案: Ireq = 5.063 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·3000⁴/(384·200000·8.333) = 5.063 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 5.063 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 5.063 × 10⁶ mm⁴
13.柱的屈曲
答案: Pcr = 29.84 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2100² = 29840 N = 29.84 kN
答案
Pcr = 29.84 kN
14.柱的屈曲
答案: σcr = 19.83 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7.5 = 186.7
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186.7² = 19.83 MPa
答案
σcr = 19.83 MPa
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